四 阶 乘 积 幻 方

   四阶乘积幻方,指的是行列与对角线每四数的乘积都相等. 编制乘积

幻方的诀窍,在使每元都含两个因数,并使各因数正交搭配.

   现以 1 2 3 4 5 6 7 8 组成四阶乘积幻方为例,来介绍如何搭配.其

积为 8!=40320.记为II(4)=40320.

 15 48 23 67     5 32  6 42    若先看右图,会感到惊奇,怎么会如此凑

 63 27 45 18 → 18 14 20  8    巧呢? 当看到左图时,却发现并不足奇.

 47 13 68 25    28  3 48 10    左图表明, 其所有行列与对角线均由因

 28 65 17 43    16 30  7 12    数1至8所成.但如何搭配却值得研究.

   把1—8分成两组: 甲组1 6 4 2,乙组5 3 7 8 .甲组每元都到乙组找

朋友;乙组每元也都到甲组找朋友.且互相错落安排在各行列中.这里甲组

1 6 4 2 在行中位置从左到右为1 3 4 2行,在1 2列↓,在3 4列↑; 乙组

5 3 7 8 在行中位置从左到右为1 4 2 3行,在1 4列↓,在2 3列↑. 如果

搭配不好,则不构成乘积幻方.

    试问,甲组取1 2 3 4 ,乙组取5 6 7 8如何? 此时仍按上述安排有:

 15 38 46 27     5 24 24 14     II(4)=40320. 可惜右图出现两处24,不

 26 47 35 18 → 12 28 15  8     满足各元全不相同的基本要求.

 37 16 28 45    21  6 16 20     但左图可作为基本图,用于其它数列.

 48 25 17 36    32 10  7 18     取前四对孪生素数.

   143 1247 779 527                1 2 3 4 11 17 29 41

   323 1271 377 473             令 → 得左图.

   899  209 731 533                5 6 7 8 13 19 31 43

  1763  221 341 551              II(4)=73206655093.

          8 18 28 10            请分析它的8个因数并排出左图. 

      → 14 20 48  3            II(4)=40320. 

         30  7  6 32

         12 16  5 42

  9 52 14 55           取1 2 4 5 7 9 11 13可得左图. 

 35 22 36 13           II(4)=360360.

 44  7 65 18 

 26 45 11 28