宝 塔 式 幻 方 初 探

在《中国当代数学家与数学英才大辞典》 中拜读了重庆市南坪长江村92—1号刘缉熙先生的十五阶宝塔式幻方后,仔细揣摩,颇有所得: 宝塔式幻方形式美观独树一帜,是一座哲理的宝库.于是邯郸学步,完成几个习作.

五阶宝塔式幻方.

┌─────────┐                    ┌─────────┐

│ 11  5  25  8  16 │ 观察各图:          │  6  18  25  7  9 │

│  ┌─────┐  │ 一. S₁=13, S₃=39,  │  ┌─────┐  │

│ 7│ 3  24  12│19│ S₅=65.             │21│ 3  24  12│ 5│

│  │  ┌─┐  │  │ 二. 对角线上各元关 │  │  ┌─┐  │  │

│17│22│13│ 4│ 9│ 于中心点对称;      │10│22│13│ 4│16│

│  │  └─┘  │  │ 其余各元关于中     │  │  └─┘  │  │

│20│14  2  23 │ 6│ 轴轴对称. 两对     │11│14  2  23 │15│

│  └─────┘  │ 称元之和均为26.    │  └─────┘  │

│10  21  1  18  15 │ 三. 对应组2次和相等│ 17  8  1  19  20 │

└─────────┘ 存在:              └─────────┘
                           [11 5 25 8 16]² 

┌─────────┐ =[10 21 1 18 15]²    ┌─────────┐

│ 8  11  25  16  5 │ =1091,              │ 6  10  25  9  15 │

│  ┌─────┐  │  [11 7 17 20 10]²    │  ┌─────┐  │

│ 9│ 3  24 12 │17│ =[16 19 9 6 15]²     │19│ 3  24  12│ 7│

│  │  ┌─┐  │  │ =959.               │  │  ┌─┐  │  │

│ 7│22│13│ 4│19│ [ 3 24 12]²         │21│22│13│4 │ 5│

│  │  └─┘  │  │ =[14 2 23]²=729,    │  │  └─┘  │  │

│20│14  2  23 │ 6│ [ 3 22 14]²            │ 8│14  2  23 │18│

│  └─────┘  │ =[12 4 23]²=689.    │  └─────┘  │

│21  15  1  10  18 │ 2次等式不穿越栏杆.  │11  16  1  17  20 │

└─────────┘                     └─────────┘

七阶宝塔式幻方

┌─────────────┐ 

│9  39  36  49  21  13  8 │左图为七阶宝塔式幻方:

│  ┌─────────┐  │一. S₃=75,S₅=125,S₇=175.

│26│12 6  48  40  19 │24│二. 对角线上各元关于中心点对称

│  │  ┌─────┐  │  │其余各元关于中轴轴对称

│34│17│ 5  47  23│33│16│两对称元之和均为50.

│  │  │  ┌─┐  │  │  │三. 对应组2次和相等存在: 

│ 4│30│43│25│ 7│20│46│[ 9 39 36 49 21 13 8]²= 

│  │  │  └─┘  │  │  │[42 11 14 1 29 37 41]²=5973,

│32│35│27  3  45 │15│18│[12 6 48 40 19]²= 

│  │  └─────┘  │  │[31 44 2 10 38]²=4445, 

│28│31  44  2  10  38│22│[ 5 47 23]²h=[27 3 45]²=2763.

│  └─────────┘  │关于列有类似等式. 

│42  11  14  1  29  37  41│2次等式不穿越栏杆. 

└─────────────┘ 

九阶宝塔式幻方

下图为九阶宝塔式幻方: 

一. S₃=124, S₅=205,S₇=287, S₉=369.

二. 对角线上各元关于中心点对称; 

其余各元关于中轴轴对称.

两对称元之和等于82.

三. 对应组2次和相等存在,均不穿越栏杆: 

[19 12 67 25 81 58 68 13 26]²= 

[56 70 15 57 1 24 14 69 63]²=21013, 

[11 49 77 80 6 55 9]²=[73 33 5 2 76 27 71]²=17993,

[16 8 79 60 42]²=[40 74 3 22 66²=11925, 

[ 7 78 38]²=[44 4 75]²=7577. 

类似等式列也存在. 

┌───────── ────────┐ 

│ 19  12 67 25  81  58 68 13  26    │ 

│   ┌─────────────┐  │ 

│65 │ 11  49  77  80  6  55  9 │17│ 

│   │  ┌─────────┐  │  │ 

│30 │62│ 16  8 79 60  42  │20│52│ 

│   │  │  ┌─────┐  │  │  │ 

│32 │35│36│ 7  78 38 │46│47│50│ 

│   │  │  │  ┌─┐  │  │  │  │ 

│43 │37│59│72│41│10│23│45│39│ 

│   │  │  │  └─┘  │  │  │  │ 

│31 │48│54│ 44  4  75│28│34│51│ 

│   │  │  └─────┘  │  │  │ 

│29 │21│ 40  74  3 22  66 │61│53│ 

│   │  └─────────┘  │  │ 

│64 │ 73  33   5  2 76  27  71 │18│ 

│   └─────────────┘  │ 

│ 56  70 15 57  1  24  14 69  63    │

└──────── ─────────┘

宝塔式幻方像四棱锥,任抓对称四点,即可把宝 塔提起而不失平衡. 又似从高空俯视平地建筑物正 中心的俯视投影图. 它不 是杠杆的平衡,而是锥体 的平衡. 有平面幻方, 有正立 方体幻方. 宝塔式幻方可 视为锥体幻方, 介于正方 形平面与正立方体之间. 压之成平面拉之成锥体. 五点平衡理论, 好似 传统的五行理论. 除中土 平衡外, 阳木火与阴金水 互补平衡.

宝塔式幻方揭示出一个道理.和谐来自互补. 五行不可能都是半斤五两.有增减变化,使整体平衡.如音乐的旋律,不能单调不变,而是上行下转流动浑圆,使全乐章和谐.

像旋转形阻尼振荡,波澜起伏,但不失其中枢平衡.潮之大小与月之盈昃的关系,都在宝塔式幻方中看到数的模型.

由杠杆平衡到四点变化平面,到锥体平衡. 宝塔式幻方正是这重心理论在幻方上的表现. 

研究发展方向, 应从方形宝塔式,到圆形,到各种不规则形态,到任意场上,到对应函数变化值如何综合平衡问题.这样,宝塔式幻方就步入了运筹学边缘,进入其范畴. 

宝塔式幻方的深入研究,有其丰富的内涵.限于笔者水平,只好就此搁笔.