四 阶 幻 方 与 四 阶 方 阵

        ┃ 1 15 14  4┃ 是幻方的方阵.   ┃341 261 285 269┃

    设A=┃ 8 10 11  5┃ 求A².        A²=┃285 301 309 261┃

        ┃12  6  7  9┃ 按方阵乘法,行   ┃261 309 301 285┃

        ┃13  3  2 16┃ 列交乘得        ┃269 285 261 341┃

这里A²为行列幻方,A²=34²=1156.但对角线和不等.

按方阵乘法, 可证明任意四阶幻方A的平方为行列幻方.

设A²=┃G┃,则G为行列幻方.例如341+261+285+269=1156=34².

在A的 1 2 3 4,5 6 7 8,9 10 11 12,13 14 15 16各组中找G的各元求和,都是34².即

341+261+285+269=261+309+301+285=

285+301+309+261=269+285+261+341=1156.

但不是所有四阶幻方在┃G┃中的对应和都组成A幻方中的S².

    ┃ ^{1 8 13 12}┃        ┃^{341 285 269 261}┃

^设A= ┃^{15 10 3  6}┃^{S4=34 A2=}┃^{261 301 285 309}┃

    ┃ ^{4  5 16 9}┃        ┃^{269 261 341 285}┃

    ┃^{14 11  2 7}┃        ┃^{285 309 261 301}┃

从1～16分成的四组,在A²=┃G┃中,大小位置数字与上式相同.即

    1 → 341    2 → 261    3 → 285    4 → 269

    5 → 261    6 → 309    7 → 301    8 → 285

    9 → 285   10 → 301   11 → 309   12 → 261

   13 → 269   14 → 285   15 → 261   16 → 341.

称两者互相在A²中同构.记为:

┃ 1 15 14  4┃       ┃ 1  8 13 12┃

┃ 8 10 11  5┃〈＝〉 ┃15 10   3 6┃

┃12  6  7  9┃       ┃ 4  5 16  9┃

┃13  3  2 16┃       ┃14 11  2  7┃

    ┃ 1  7 10 16┃            ┃385 301 277 193┃

设B=┃ 8 14  3  9┃ S₄=34   B²=┃273 357 221 305┃

    ┃12  2 15  5┃            ┃273 197 381 305┃

    ┃13 11  6  4┃            ┃225 301 277 353┃

B中1 2 3 4等四组对应在B²中的和均为34²=1156.

    ┃ 1 12  8 13┃            ┃341 261 285 269┃

设C=┃14  7 11  2┃ S₄=34   C²=┃285 301 309 261┃

    ┃15  6 10  3┃            ┃261 309 301 285┃

    ┃ 4  9  5 16┃            ┃269 285 261 341┃

C中1 2 3 4等四组对应在C²中的和均为34²=1156.在其平方方阵中各元是相同的.这样,我们得到了三同构.

┃ 1 15 14  4┃       ┃ 1  8 13 12┃      ┃ 1 12  8 13┃

┃ 8 10 11  5┃〈＝〉 ┃15 10  3  6┃〈＝〉 ┃14  7 11  2┃

┃12  6  7  9┃       ┃ 4  5 16  9┃      ┃15  6 10  3┃

┃13  3  2 16┃       ┃14 11  2  7┃      ┃ 4  9  5 16┃

在这三同构中,A中2式与C式,其2元之和为互补17者,则在对应平方方阵中数字相同.

1与16对应均为341,2与15对应均为261,3与14对应均为285,4与13对应均为269,5与12对应均为261, 6与11对应均为309,7与10对应均为301,8与9对应均为285.

四阶幻方三同构方阵三次幂构成幻方.

  ┃ 1 15 14  4┃     ┃ 9346 10242 10178  9538┃

A=┃ 8 10 11  5┃  A³=┃ 9794  9922  9986  9602┃S=34³=39304

  ┃12  6  7  9┃     ┃10050  9666  9730  9858┃

  ┃13  3  2 16┃     ┃10114  9474  9410 10306┃

  ┃ 1  8 13 12┃    ┃ 9346 9794 10114 10050┃

B=┃15 10  3  6┃ B³=┃10242 9922  9474  9666┃S=34³=39304

  ┃ 4  5 16  9┃    ┃ 9538 9602 10306  9858┃

  ┃14 11  2  7┃    ┃10178 9986  9410  9730┃

  ┃ 1 12  8 13┃    ┃ 9346 10050 9794 10114┃

C=┃14  7 11  2┃ C³=┃10178  9730 9986  9410┃S=34³=39304

  ┃15  6 10  3┃    ┃10242  9666 9922  9474┃

  ┃ 4  9  5 16┃    ┃ 9538  9858 9602 10306┃

这里B为四阶完美幻方.这一特性映射到B³,B³亦为完美幻方.

计算A³,B³,C³矩阵方阵很麻烦.我们用的是简捷算法:

以3*91*34=9282为基数,再加上A中元乘以64.例如:

15时,9282+15*64=10242,14时,9282+14*64=10178.

按此计算,可得出1～16的各自数据.为得出A³ B³ C³,只须按A B C各自的位置填入即可.

   再举一例:

  ┃ 1  2 15 16┃         ┃335 311 267 243┃

D=┃13 14  3  4┃ S=34 D²=┃263 287 291 315┃

  ┃12  7 10  5┃         ┃263 247 331 315┃

  ┃ 8 11  6  9┃         ┃295 311 267 283┃

   ┃ 9526  9566 10086 10126┃

D³=┃10006 10046  9606  9646┃ S=34³=39304

   ┃ 9966  9766  9886  9686┃

   ┃ 9806  9926  9726  9846┃

一般地,四阶幻方G,G²为行列幻方,G³为幻方.且G的特性映射到G³中.

D的基数为279*34=9486.D中各元乘以40加基数得D³中各元之数.

幻方作为方阵,是矩阵中的特殊方阵. 通过幻方研究矩阵,通过矩阵得出幻方.生动活泼,别有风味;探其规律,其乐无穷.