八 阶 和 积 幻 方

 46  81 117 102  15  76 200 203  1990年2月10日,我完成的八阶和

 19  60 232 175  54  69 153  78  积幻方如左图,幻和S8=840,幻积

216 161  17  52 171  90  58  75  兀8=2058068231856000.为它选

135 114  50  87 184 189  13  68  取的基元是:[1 2 3 4 6 7 8 9]

150 261  45  38  91 136  92  27  [13 15 17 19 23 25 27 29]将

119 104 108  23 174 225  57  30  16个基元排成下图,我们发现,下

116  25 133 120  51  26 162 207  图的排法非常巧妙: 所取16个基

 39  34 138 243 100  29 105 152  元,在各行各列两对角线均出现.

2*23 3*27 9*13 6*17 1*15 4*19 8*25 7*29 观察前8元我们发现:它们

1*19 4*15 8*29 7*25 2*27 3*23 9*17 6*13 在1 2、3 4、5 6、7 8列

8*27 7*23 1*17 4*13 9*19 6*15 2*29 3*25 两两对称;

9*15 6*19 2*25 3*29 8*23 7*27 1*13 4*17 观察后8元我们发现:它们

6*25 9*29 3*15 2*19 7*13 8*17 4*23 1*27 在1 3、2 4、5 7、6 8列

7*17 8*13 4*27 1*23 6*29 9*25 3*19 2*15 两两对称.

4*29 1*25 7*19 8*15 3*17 2*13 6*27 9*23

3*13 2*17 6*23 9*27 4*25 1*29 7*15 8*19 

编者按:1987年4月17日,人民日报(海外版)以《青年农民梁培基成为"幻方"专家 》为题,报导了他的事迹. 他的最小八阶双重幻方于1989年9月发表在《数学传播》上.现将积最小双重幻方摘录如下:

  2 126 117  99  17 259  40 100  S₈=760,兀₈=51407948592000.

 37 119 200  20  42   6 297  39  梁先生还找到了和最小双重幻方:

168   4  33  91 333  51  50  30  S₈=600,兀₈=67463283888000.

153 111  10 150   8  84  13 231  其对角线上各数为:

 15 225 102  74  52 264   7  21  [ 10 52 19 69 49 99 102 200]

132 104 147   1  75  45 222  34  [ 21 11 68 50 40 78 171 161].

175   5 148 136 198  26  63   9  有兴趣的朋友们请自行排出.

 78  66   3 189  35  25  68 296  非常有趣: 和最小不等于积最小.