任 意 奇 阶 幻 立 方 构 造 法
一. 含义
幻立方是指正立方体. 分成n3个小格,每长宽高n个小格,直线数之和均相等;与通过立方体中心一小格引出的十条旋转对称轴的直线数字和亦相等.即有3n2+10条直线数之和(幻和)相等. 取1～n3个连续不同数组成.当n为奇数时称为奇阶幻立方.
二. 构造法的产生
1984年10月17日,通过世界语向芬兰南部于伐斯屈拉 (JYVASKYLA)大学数学系学生matti lahtinen探讨幻立方构造法.不久,接到复信.借助于电脑的帮助,他找到了四组三阶幻立方,S3=42. 他没有介绍它们的产生规律,笔者仔细分析后,建立了它们之间的坐标关系.而且这个规律可推广到任意奇阶幻立方.
三. matti 三阶幻立方表
上 板 中 板 下 板
1 17 24 15 19 8 26 6 10
表一 23 3 16 7 14 21 12 25 5
18 22 2 20 9 13 4 11 27
3 17 22 13 21 8 26 4 12
表二 23 1 18 9 14 19 10 27 5
16 24 2 20 7 15 6 11 25
7 15 20 11 25 6 24 2 16
表三 23 1 18 9 14 19 10 27 5
12 26 4 20 3 17 8 13 21
9 13 20 11 27 4 22 2 18
表四 23 3 16 7 14 21 12 25 5
10 26 6 24 1 17 8 15 19
四. matti表的分解与引伸
我们把自然数n分写成三位数,即n=AiBjCk i,j,k从1～n (n阶).对三阶而言只有1,2,3.约定:
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9]∈A1=0,
[10 11 12 13 14 15 16 17 18]∈A2=9,
[19 20 21 22 23 24 25 26 27]∈A3=18.
[ 1 2 3 10 11 12 19 20 21]∈B1=0,
[ 4 5 6 13 14 15 22 23 24]∈B2=3,
[ 7 8 9 16 17 18 25 26 27]∈B3=6.
3m+1∈C1=1, 3m+2∈C2=2, 3m+3∈C3=3. m=[0～9]
例: 1=A1B1C1=0+0+1, 23=A3B2C2=18+3+2.
按此分解表一得:
上 板 中 板 下 板
1 2 3 2 3 1 3 1 2
Ai 3 1 2 1 2 3 2 3 1
2 3 1 3 1 2 1 2 3
1 3 2 2 1 3 3 2 1
Bj 2 1 3 3 2 1 1 3 2
3 2 1 1 3 2 2 1 3
1 2 3 3 1 2 2 3 1
Ck 2 3 1 1 2 3 3 1 2
3 1 2 2 3 1 1 2 3
Ai Bj Ck 符合正交不重复性.
表一至表四坐标关系的矢向表示,可用四句诗文给于表述.
家对青山井涌流[表一], 三潭起伏接泉头[表二],
天光云影冈峦洗[表三], 倒影波平景更幽[表四].
据此,把1～3引伸为1～11得11阶幻立方,S11=7326.
┌───────────────────────────┐
│ 1 145 289 433 577 721 744 888 1032 1176 1320│
│1223 36 180 324 468 491 635 779 923 1067 1200│
│1114 1258 71 215 359 382 526 670 814 947 970│
│1005 1149 1293 106 129 273 417 561 694 838 861│
│ 896 1040 1184 1328 20 164 308 441 585 608 752│
│ 787 931 1075 1098 1242 55 188 332 476 499 643│
│ 678 822 966 989 1133 1266 79 223 246 390 534│
│ 569 713 736 880 1013 1157 1301 114 137 281 425│
│ 460 604 627 760 904 1048 1192 1215 28 172 316│
│ 351 374 507 651 795 939 1083 1106 1250 63 207│
│ 242 254 398 542 686 830 853 997 1141 1285 98│
└───────────────────────────┘
第 一 板
┌───────────────────────────┐
│ 231 243 387 531 675 819 963 986 1130 1274 87│
│ 111 134 278 422 566 710 733 877 1021 1165 1309│
│1212 25 169 313 457 601 624 768 912 1056 1189│
│1103 1247 60 204 348 371 515 659 803 936 1080│
│ 994 1138 1282 95 239 262 406 550 683 827 850│
│ 885 1029 1173 1317 9 153 297 430 574 718 741│
│ 776 920 1064 1208 1231 44 177 321 465 488 632│
│ 667 811 955 978 1122 1255 68 212 356 379 523│
│ 558 702 846 869 1002 1146 1290 103 126 270 414│
│ 449 593 616 749 893 1037 1181 1325 17 161 305│
│ 340 484 496 640 784 928 1072 1095 1239 52 196│
└───────────────────────────┘
第 二 板
┌───────────────────────────┐
│ 329 473 485 629 773 917 1061 1205 1228 41 185│
│ 220 353 376 520 664 808 952 975 1119 1263 76│
│ 100 123 267 411 555 699 843 866 1010 1154 1298│
│1322 14 158 302 446 590 613 757 901 1045 1178│
│1092 1236 49 193 337 481 504 648 792 925 1069│
│ 983 1127 1271 84 228 251 395 539 672 816 960│
│ 874 1018 1162 1306 119 142 286 419 563 707 730│
│ 765 909 1053 1197 1220 33 166 310 454 598 621│
│ 656 800 944 1088 1111 1244 57 201 345 368 512│
│ 547 691 835 858 991 1135 1279 92 236 259 403│
│ 438 582 726 738 882 1026 1170 1314 6 150 294│
└───────────────────────────┘
第 三 板
┌───────────────────────────┐
│ 427 571 715 727 871 1015 1159 1303 116 139 283│
│ 318 462 595 618 762 906 1050 1194 1217 30 174│
│ 209 342 365 509 653 797 941 1085 1108 1252 65│
│ 89 233 256 400 544 688 832 855 999 1143 1287│
│1311 3 147 291 435 579 723 746 890 1034 1167│
│1202 1225 38 182 326 470 493 637 781 914 1058│
│ 972 1116 1260 73 217 361 384 528 661 805 949│
│ 863 1007 1151 1295 108 131 275 408 552 696 840│
│ 754 898 1042 1186 1330 22 155 299 443 587 610│
│ 645 789 933 1077 1100 1233 46 190 334 478 501│
│ 536 680 824 968 980 1124 1268 81 225 248 392│
└───────────────────────────┘
第 四 板
┌───────────────────────────┐
│ 525 669 813 957 969 1113 1257 70 214 358 381│
│ 416 560 704 837 860 1004 1148 1292 105 128 272│
│ 307 451 584 607 751 895 1039 1183 1327 19 163│
│ 198 331 475 498 642 786 930 1074 1097 1241 54│
│ 78 222 245 389 533 677 821 965 988 1132 1276│
│1300 113 136 280 424 568 712 735 879 1023 1156│
│1191 1214 27 171 315 459 603 626 770 903 1047│
│1082 1105 1249 62 206 350 373 517 650 794 938│
│ 852 996 1140 1284 97 241 264 397 541 685 829│
│ 743 887 1031 1175 1319 11 144 288 432 576 720│
│ 634 778 922 1066 1210 1222 35 179 323 467 490│
└───────────────────────────┘
第 五 板
┌───────────────────────────┐
│ 623 767 911 1055 1199 1211 24 168 312 456 600│
│ 514 658 802 946 1079 1102 1246 59 203 347 370│
│ 405 549 693 826 849 993 1137 1281 94 238 261│
│ 296 440 573 717 740 884 1028 1172 1316 8 152│
│ 187 320 464 487 631 775 919 1063 1207 1230 43│
│ 67 211 355 378 522 666 810 954 977 1121 1265│
│1289 102 125 269 413 557 701 845 868 1012 1145│
│1180 1324 16 160 304 448 592 615 759 892 1036│
│1071 1094 1238 51 195 339 483 506 639 783 927│
│ 962 985 1129 1273 86 230 253 386 530 674 818│
│ 732 876 1020 1164 1308 121 133 277 421 565 709│
└───────────────────────────┘
第 六 板
┌───────────────────────────┐
│ 842 865 1009 1153 1297 110 122 266 410 554 698│
│ 612 756 900 1044 1188 1321 13 157 301 445 589│
│ 503 647 791 935 1068 1091 1235 48 192 336 480│
│ 394 538 682 815 959 982 1126 1270 83 227 250│
│ 285 429 562 706 729 873 1017 1161 1305 118 141│
│ 176 309 453 597 620 764 908 1052 1196 1219 32│
│ 56 200 344 367 511 655 799 943 1087 1110 1254│
│1278 91 235 258 402 546 690 834 857 1001 1134│
│1169 1313 5 149 293 437 581 725 748 881 1025│
│1060 1204 1227 40 184 328 472 495 628 772 916│
│ 951 974 1118 1262 75 219 363 375 519 663 807│
└───────────────────────────┘
第 七 板
┌───────────────────────────┐
│ 940 1084 1107 1251 64 208 352 364 508 652 796│
│ 831 854 998 1142 1286 99 232 255 399 543 687│
│ 722 745 889 1033 1177 1310 2 146 290 434 578│
│ 492 636 780 924 1057 1201 1224 37 181 325 469│
│ 383 527 671 804 948 971 1115 1259 72 216 360│
│ 274 418 551 695 839 862 1006 1150 1294 107 130│
│ 165 298 442 586 609 753 897 1041 1185 1329 21│
│ 45 189 333 477 500 644 788 932 1076 1099 1243│
│1267 80 224 247 391 535 679 823 967 990 1123│
│1158 1302 115 138 282 426 570 714 737 870 1014│
│1049 1193 1216 29 173 317 461 605 617 761 905│
└───────────────────────────┘
第 八 板
┌───────────────────────────┐
│1038 1182 1326 18 162 306 450 594 606 750 894│
│ 929 1073 1096 1240 53 197 341 474 497 641 785│
│ 820 964 987 1131 1275 88 221 244 388 532 676│
│ 711 734 878 1022 1166 1299 112 135 279 423 567│
│ 602 625
769 913 1046 1190 1213 26 170 314 458│
│ 372 516 660 793 937 1081 1104 1248
61 205 349│
│ 263 407 540 684 828 851 995 1139 1283 96 240│
│ 154 287 431 575 719 742 886 1030 1174 1318 10│
│ 34 178 322 466 489 633 777 921 1065 1209 1232│
│1256 69 213 357 380 524 668 812 956 979 1112│
│1147 1291 104 127 271 415 559 703 847 859 1003│
└───────────────────────────┘
第 九 板
┌───────────────────────────┐
│1136 1280 93 237 260 404 548 692 836 848 992│
│1027 1171 1315 7 151 295 439 583 716 739 883│
│ 918 1062 1206 1229 42 186 330 463 486 630 774│
│ 809 953 976 1120 1264 77 210 354 377 521 665│
│ 700 844 867 1011 1155 1288 101 124 268 412 556│
│ 591 614 758 902 1035 1179 1323 15 159 303 447│
│ 482 505 649 782 926 1070 1093 1237 50 194 338│
│ 252 396 529 673 817 961 984 1128 1272 85 229│
│ 143 276 420 564 708 731 875 1019 1163 1307 120│
│ 23 167 311 455 599 622 766 910 1054 1198 1221│
│1245 58 202 346 369 513 657 801 945 1089 1101│
└───────────────────────────┘
第 十 板
┌───────────────────────────┐
│1234 47 191 335 479 502 646 790 934 1078 1090│
│1125 1269 82 226 249 393 537 681 825 958 981│
│1016 1160 1304 117 140 284 428 572 705 728 872│
│ 907 1051 1195 1218 31 175 319 452 596 619 763│
│ 798 942 1086 1109 1253 66 199 343 366 510 654│
│ 689 833 856 1000 1144 1277 90 234 257 401 545│
│ 580 724 747 891 1024 1168 1312 4 148 292 436│
│ 471 494 638 771 915 1059 1203 1226 39 183 327│
│ 362 385 518 662 806 950 973 1117 1261 74 218│
│ 132 265 409 553 697 841 864 1008 1152 1296 109│
│ 12 156 300 444 588 611 755 899 1043 1187 1331│
└───────────────────────────┘
第 十 一 板
这里举的是11阶幻立方,任意素数阶均可按此引伸. 当奇数为合数时,按此引伸不能奏效.可用因数套入法.当15阶时,用3套5或5套3均可.现以9阶幻立方为例,以1当9.1:1～9,2:10～18,3:19～27. 每个立方晶体汇成9阶幻立方.按3阶matti表1套3阶排列.
1 17 24 433 449 456 622 638 645
23 3 16 455 435 448 644 624 637
18 22 2 450 454 434 639 643 623
第 595 611 618 55 71 78 406 422 429
一 617 597 610 77 57 70 428 408 421
版 612 616 596 72 76 56 423 427 407
460 476 483 568 584 591 28 44 51
482 462 475 590 570 583 50 30 43
477 481 461 585 589 569 45 49 29
15 19 8 447 451 440 636 640 629
7 14 21 439 446 453 628 635 642
20 9 13 452 441 445 641 630 634
第 609 613 602 69 73 62 420 424 413
二 601 608 615 61 68 75 412 419 426
版 614 603 607 74 63 67 425 414 418
474 478 467 582 586 575 42 46 35
466 473 480 574 581 588 34 41 48
479 468 472 587 576 580 47 36 40
26 6 10 458 438 442 647 627 631
12 25 5 444 457 437 633 646 626
4 11 27 436 443 459 625 632 648
第 620 600 604 80 60 64 431 411 415
三 606 619 599 66 79 59 417 430 410
版 598 605 621 58 65 81 409 416 432
485 465 469 593 573 577 53 33 37
471 484 464 579 592 572 39 52 32
463 470 486 571 578 594 31 38 54
379 395 402 487 503 510 190 206 213
401 381 394 509 489 502 212 192 205
396 400 380 504 508 488 207 211 191
第 163 179 186 352 368 375 541 557 564
四 185 165 178 374 354 367 563 543 556
版 180 184 164 369 373 353 558 562 542
514 530 537 217 233 240 325 341 348
536 516 529 239 219 232 347 327 340
531 535 515 234 238 218 342 346 326
393 397 386 501 505 494 204 208 197
385 392 399 493 500 507 196 203 210
398 387 391 506 495 499 209 198 202
第 177 181 170 366 370 359 555 559 548
五 169 176 183 358 365 372 547 554 561
版 182 171 175 371 360 364 560 549 553
528 532 521 231 235 224 339 343 332
520 527 534 223 230 237 331 338 345
533 522 526 236 225 229 344 333 337
404 384 388 512 492 496 215 195 199
390 403 383 498 511 491 201 214 194
382 389 405 490 497 513 193 200 216
第 188 168 172 377 357 361 566 546 550
六 174 187 167 363 376 356 552 565 545
版 166 173 189 355 362 378 544 551 567
539 519 523 242 222 226 350 330 334
525 538 518 228 241 221 336 349 329
517 524 540 220 227 243 328 335 351
676 692 699 136 152 159 244 260 267
698 678 691 158 138 151 266 246 259
693 697 677 153 157 137 261 265 245
第 298 314 321 649 665 672 109 125 132
七 320 300 313 671 651 664 131 111 124
版 315 319 299 666 670 650 126 130 110
82 98 105 271 287 294 703 719 726
104 84 97 293 273 286 725 705 718
99 103 83 288 292 272 720 724 704
690 694 683 150 154 143 258 262 251
682 689 696 142 149 156 250 257 264
695 684 688 155 144 148 263 252 256
第 312 316 305 663 667 656 123 127 116
八 304 311 318 655 662 669 115 122 129
版 317 306 310 668 657 661 128 117 121
96 100 89 285 289 278 717 721 710
88 95 102 277 284 291 709 716 723
101 90 94 290 279 283 722 711 715
701 681 685 161 141 145 269 249 253
687 700 680 147 160 140 255 268 248
679 686 702 139 146 162 247 254 270
第 323 303 307 674 654 658 134 114 118
九 309 322 302 660 673 653 120 133 113
版 301 308 324 652 659 675 112 119 135
107 87 91 296 276 280 728 708 712
93 106 86 282 295 275 714 727 707
85 92 108 274 281 297 706 713 729
对于多因子合成奇数,可多次套入得到多因子奇数阶幻立方. 以上表明,任意奇数阶幻立方都能依此得到解决.若A*B等于奇数,A取matti表1～4中任一种方法,B取matti表1～表4中任一种方法存在16种组合.由于幻立方晶体结构不同,所得多因子奇数阶幻立方将会是异彩纷呈.
林 镜 清
2000年7月