四 阶 立 体 幻 方

1995年1月30日,我设计了一方四阶行列立体幻方, 由四块4阶完美幻方叠加而成,S₄=130.

        A                    B                  C                    D 

  1 15 58 56     59 53  4 14    40 42 31 17    30 20 37 43

62 52   5 11      8 10 63 49    27 21 36 46    33 47 26 24

  7  9 64 50     61 51   6 12    34 48 25 23    28 22 35 45

60 54  3 13       2 16 57 55    29 19 38 44    39 41 32 18

A+B+C+D的行列和亦为130,如:[ 1 59 40 30]=[15 53 42 20]=130.

它像四层楼,上下和谐,每层都有完美的瓷砖.

我们把1—64分成四大组,每组16元;四小组,每组4元. 小组各数依序叫 1 2 3 4.剖析如下:

大 组

   1 1 4 4          4 4 1 1          3 3 2 2          2 2 3 3

    A  4 4 1 1     B  1 1 4 4     C   2 2 3 3     D   3 3 2 2

        1 1 4 4          4 4 1 1         3 3 2 2          2 2 3 3

         4 4 1 1          1 1 4 4         2 2 3 3          3 3 2 2

小 组

  1 4 3 2        3 2 1 4       2 3 4 1        4 1 2 3

A  4 1 2 3   B  2 3 4 1    C  3 2 1 4   D  1 4 3 2 

    2 3 4 1       4 1 2 3        1 4 3 2        3 2 1 4

    3 2 1 4       1 4 3 2        4 1 2 3        2 3 4 1

序 数

1 3 2 4     3 1 4 2     4 2 3 1     2 4 1 3

2 4 1 3     4 2 3 1     3 1 4 2     1 3 2 4

3 1 4 2     1 3 2 4     2 4 1 3     4 2 3 1

4 2 3 1     2 4 1 3     1 3 2 4     3 1 4 2

从大组小组序数立体分析是正交的,故立体行列幻方成立. 



编者按: 现将南京丁宗智先生所编四阶立方体幻方摘录如下. 

1992年6月, 时年八十高龄的丁宗智先生的《幻方》一书由东南大学出版社出版.四阶立体幻方属于该书的第三篇. 该篇介绍的立方体幻方构造方法的阶次包括: 3 4 5 6 7 8 9 10 14.

丁宗智先生《幻方》一书共44万字. 内容充实,文字简炼,方法巧妙.有意得到此书的朋友请与编者联系. 

四阶立方体幻方的构造方法 

先用蛇形排列法排出对称型起点方阵如左图.由左图排得顺序图各片如右图. 

 1  2  3  4 36 35 34 33     1  8 12 13     2  7 11 14

 8  7  6  5 37 38 39 40    20 21 25 32    19 22 26 31

12 11 10  9 41 42 43 44    36 37 41 48    35 38 42 47

13 14 15 16 48 47 46 45    49 56 60 61    50 55 59 62

20 19 18 17 49 50 51 52       第一片         第二片

21 22 23 24 56 55 54 53     3  6 10 15     4  5  9 16

25 26 27 28 60 59 58 57    18 23 27 30    17 24 28 29

32 31 30 29 61 62 63 64    34 39 43 46    33 40 44 45

                           51 54 58 63    52 53 57 64

                              第三片          第四片

令右图各片对角线上8元不动,其余8元作对称调换得下图, 它们都是四阶幻方.

 1 60 56 13     2 59 55 14     3 58 54 15     4 57 53 16

48 21 25 36    47 22 26 35    46 23 27 34    45 24 28 33

32 37 41 20    31 38 42 19    30 39 43 18    29 40 44 17

49 12  8 61    50 11  7 62    51 10  6 63    52  9  5 64

   第一片         第二片         第三片         第四片

令第二片与第三片不动,第一片与第四片的全部各元均作对称调换得下图,它是四阶立方体幻方.

61  8 12 49     2 59 55 14     3 58 54 15    64  5  9 52

20 41 37 32    47 22 26 35    46 23 27 34    17 44 40 29

36 25 21 48    31 38 42 19    30 39 43 18    33 28 24 45

13 56 60  1    50 11  7 62    51 10  6 63    16 53 57  4

  第一片        第二片          第三片          第四片

将各片第一行相加如左图、第一列相加如右图,其和都等于130.

61  8 12 49    61  2  3 64   立方体四条对角线上的四元之和

 2 59 55 14    20 47 46 17   也都等于130,它们是:

 3 58 54 15    36 31 30 33   [61 22 43 4] [13 38 27 52]

64  5  9 52    13 50 51 16   [49 26 39 16] [1 42 23 64].