平 面 幻 方 平 方 和 公 式

     先从特例入手.

  1  8 13 12        1  64 169 144 378

 15 10  3  6 平方 225 100   9  36 370

  4  5 16  9 →    16  25 256  81 378

 14 11  2  7      196 121   4  49 370

                   438 310 438 310

元1～16若改为2～17,其平方和则随之增大.取k～k+15为四阶幻方各元,此时有:

第1,3行平方和为4k²+60k+314,

第2,4行平方和为4k²+60k+306;

第1,3列平方和为4k²+60k+374,

第2,4列平方和为4k²+60k+246.

例1. 把第二行各元加7为22 17 10 13.有[22 17 10 13]攩2攪=1042.

     此时k=8,用公式计算亦为1042.

例2. 把第三列各元加9为22 12 25 11.有[22 12 25 11]攩2攪=1374.

     此时k=10,用公式计算亦为1374.

再看五阶幻方.

  8  4 25 16 12      64   16 625 256 144 1105

  2 23 19 15  6       4  529 361 225  36 1155

 21 17 13  9  5 平方 441 289 169  81  25 1005

 20 11  7  3 24  →  400 121  49   3 576 1155

 14 10  1 22 18      196 100   1 484 324 1105

                   1105 1055 1205 1055 1105

取k～k+48为五阶幻方各元,此时有:

第1,5行,第1,5列平方和为5k²+120k+980,

第2,4行平方和为5k²+120k+1030,第2,4列平方和为5k²+120k+930,

第3行平方和为5k²+120k+880,第3列平方和为5k²+120k+1080.

例. 把第三列各元加4为29 23 17 11 5.有[29 23 17 11 5]²=1805.

    此时k=5,用公式计算亦为1805.

这里存在一个特点: 当k增大时,其各行列平方和的差值不变.

一般地,有m阶幻方平方和公式:

令 n=1时其行列平方和为C₁, n=2时其行列平方和为C₂,则

C_n=C₁+(n-1)(C₂-C₁)+m(n-1)(n-2).

C₂-C₁=m+2s,s为从1开始幻方一个行或一个列的和.代入得

Cn=mn²+2(s-m)n+C₁-m-2(s-m)

  =m(n²-1)+2(s-m)(n-1)+C₁.

这里n指幻方中最小数.若改为以k表示,则

C_k=m(k²-1)+2(s-m)(k-1)+C₁.幻元为k～k+m²-1.

例. 8阶对称型平方幻方.

17 61 42  6 15 35 56 28     S₈=260

43  7 20 64 53 25 14 34     S₈²=11180

52 32 11 39 46  2 21 57     设K=4,即各元加3.

10 38 49 29 24 60 47  3     取第一行为 20 64 45 9 18 38 59 31,

62 18  5 41 36 16 27 55     有 [20 64 45 9 18 38 59 31]²=12812.

 8 44 63 19 26 54 33 13     C₄= 8(16-1)+2(260-8)*3+11180=12812.

31 51 40 12  1 45 58 22     取第二列为 64 10 35 41 21 47 54 12.

37  9 30 50 59 23  4 48     有[64 10 35 41 21 47 54 12]²=12812.

                            计算C₄亦为12812.

由平方和公式可知,任意m阶平方幻方,其各元同加一个k后其平方幻方性质仍然保持.

幻方的不变性,使我们祖先从洛书悟出八卦. 八卦行列值的不变性与幻方各行列平方和的差值不变性, 是我们龙的传人的古老而神奇的文化.发扬传统幻方并与现代科学结合,应占有数学领域一方土地. 让广大幻方爱好者共同耕耘,开发新成果,迎接新世纪的光临.