五 阶 幻 方 与 圆 弧 度
幻方的研究,一般只在行列对角线等方面. 其实还存在一个很奇妙的特征,即与圆弧度的关系.
8 4 25 16 12 先看一个五阶幻方如左图,其幻和为65.把幻方中
2 23 19 15 6 各元分别除以65,称之为正弦值,然后求其反函数
21 17 13 9 5 角度. 得下图.
20 11 7 3 24 例如8/65=0.123077, arc0.123077=7.0697°.
14 10 1 22 18
┌────────────────────────┐
│ 7.0697 3.5281 22.6199 14.2500 10.6387 58.1064│
│ 1.7633 20.7227 16.9962 13.3424 5.2964 58.1210│
│18.8491 15.1614 11.5370 7.9588 4.4117 57.9180│
│17.9202 9.7431 6.1823 2.6454 21.6682 58.1592│
│12.4381 8.8499 0.8815 19.7832 16.0766 58.0292│
└────────────────────────┘
57.6993 58.0404 58.0052 58.2169 57.9798 58.0916 58.0514
我们可以看出,行列与对角线之和趋向58°.当幻方阶数扩大时,角度和将趋向一个圆弧度 360/2
兀≈57.29578°.不但对正弦值如此,对正切值亦然.不过正切的反函数求和时,它趋向一个圆弧度似乎比正弦慢一些.
笔者对《智慧之窗》1998年5月5日第7版刊载芜湖纺织厂刘霞的32阶行列兼完美幻方每元正切的反函数求和,很接近一个圆弧度.
至此,我们可以得出如下概念:对于充分大阶数的幻方,其行列对角线各元除以幻和的值,当分别求其正弦正切的反函数时,其角度和以360/2兀为极限.
幻方与圆沟通起来,幻方化为圆弧度,是一个值得惊奇的现象.这个现象显示出数学的神奇,显示出幻方的魅力,这将使我们流连忘返.寻幽探胜,其乐无穷.