一、幻方理论体系预备

定义1：由n²个数构成的n个横行、n个竖列的正方形数量表，称作n阶方阵，记为A(i,j)(1≤i，j≤n)。其中n²个数A(i,j)叫做方阵的元素，简称为项。

在不致于混淆时，我们将方阵A与其中某一项都记作A(i,j)；它们区别是前者i,j是自变量，而后者中i,j是一对固定值。

在n阶方阵A中，由A(1,1)到A(n,n)联成的直线称为方阵A的主对角线，由A(1,n)到A(n,1)联成的直线称为方阵A的副对角线。

n阶方阵A中的各项总与它所在位置的行标，列标相对应，因此也可以把方阵A看成一个以自然数i,j(1≤i，j≤n)为下标的n阶二维数组A(i,j)。

如果一个方阵A的通项A(i,j)与下标i,j之间的函数关系能用解析式来表示，那么这个解析式就称为方阵A的通项公式。一个方阵，如果已知它的通项公式，那么运用求函数值的方法很容易求得出这个方阵内的每一项。

定义2：以方阵行、列顺序依次排入自然数1 到n×n，得到的是n阶自然方阵Ne。

如果其中有Ne(i,j)＝z，则称i,j是自然数z在n阶方阵中的自然下标。

整除与一般除法相似但更简单，整除只取相除所得结果的整数部分，\表示整除运算，例如：17\7=2。取模运算符mod用来求余数，其结果为第一数整除第二数所得的余数，如：17 mod 7=3，7称为模数。在n阶方阵中，经常以阶数n为模，计算下标时，应将下标为0或为n视作同一件事，但最终结果要把下标为0的换成等于n ，即让余数是从1到n之间的自然数。

例1：请看图－1，以方阵行、列顺序依次排入自然数1 到36，得到的是一个6阶自然方阵Ne。容易得出Ne的通项公式是：Ne(i,j)＝n(i-1)+j .

Ne(5,3)=6×(5-1)+3=6×4+3=27 .

在n阶方阵中，求整数z(0＜z≤n²)的自然下标，有i=(z+n-1)\n , j=z mod n ，即有 Ne(i,j)=z .

初学者必须注意，阶数n是一个方阵决定性的参数，不明确阶数n，方阵的其它研究和计算都是毫无意义的，甚至引出偌多荒谬！

定义3：用1到n²的n²个自然数组成一个n阶方阵，使得每一行、每一列及两条对角线上n项之和都是相等的，这个方阵则称为n阶幻方。

根据等差数列公式可知，1到n²的n²个自然数总和是n² (n²+1)/2，那么容易知道：n阶幻方的每一行、列、对角线上n项之和都是n (n²+1)/2，这个数是n阶幻方最重要的数据，称作幻和S_n，即n阶幻和S_n＝n (n²+1)/2。

我们可以把幻方看作适合某个特定条件，n²个自然数的二维排列。方阵中平行于两对角线的所有斜线，如图－1：6阶自然方阵Ne中，斜线2+9+16+23+30+31与斜线3+8+13+24+24+29+34等是由于方阵的局限，而被折断成两段的对角线，我们将它们连同主副对角线统称为泛对角线，n阶方阵应该有2n条泛对角线。

（注：以上斜线中的＋号，既有相加的性能 又有连接的意义。）

如果一个幻方的所有泛对角线上的n项之和都等于幻和S_n，那么我们称其为一个n阶完美幻方。这时对角线与行列的地位才真正完全平等，达到完美的地步。

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