六

六、各种大、小飞法结果的探索

1、合奇数阶幻方的制作可能

我将大小飞分别编成VB过程，改变参数q，由电脑飞速去运行，结果经检验是否幻方，完美否？对于大于7的素数n，各种大小飞法都可以制得一个n阶完美幻方。

表-2：合奇数阶幻方的走与飞可能性

在M（1，2）格起步效果最好

幻方

斜排易位

小飞（马步）

大飞（士马步）

1、结果与注释

☆：完美幻方

□：成幻方

×：不成功

-1：仅差一线

2、注释：

小飞：(1,q)

大飞：(2,q)

数字q 向右q 列，

转向步

定为（0，－1）。

阶数

杨辉法

分奇偶

□

☆

□

☆

-1

☆

-1

□

-1

□

-1

-2

□

-1

□

☆

□

-1

☆

□

-1

□

-1

□

-1

□

☆

□

-1

□

-1

-2

□

☆

-1

☆

-1

3、幻和：

□

-1

66351

□

☆

□

-1

☆

□

-1

83215

□

-1

92625

□

-1

125055

□

☆

□

-1

☆

□

-1

137345

□

-1

164289

□

-1

-2

210975

□

☆

-1

☆

-1

228305

□

-1

265761

□

☆

□

-1

☆

□

-1

307105

□

-1

329295

□

☆

-1

☆

-1

376831

□

-1

402225

□

☆

□

-1

☆

□

-1

428735

□

-1

485199

而对于n是合奇数时，结果就复杂多了！但也有一定的规律蕴涵其中，特将100以内合奇数幻方制作结果列表－2如下，供幻方爱好者及数学同仁参考。

2、改变大小飞的起点对半幻方的修正

如果一个n阶方阵仅有所有行、列或所有的泛对角线满足幻和，我们称其为半幻方。半幻方通过某些项的平移或交换位置，有可能修正成为一个标准幻方。

对表－2中结果仅差1或2线而未能成幻方的，我们感到深深地遗憾！能否通过改变起点来修正结果呢？对于表－2中飞的制作，为了便于计算与研究，我将起点一律定在首行第二格，即M(1,2)中，效果蛮好。

方法	右上马步q ,					起点在M(1,2),
幻方	转向数时升2格				转向数时降1格
阶 q	2	4	5	7	2	4	5	7
9	□	□	□	□	-1	□	□	-1
15	□	-1	×	□	-1	-1	×	-1
21	□	□	□	×	-1	□	-1	-1
25	☆	-1	×	☆	-1	-1	×	-1
27	□	□	□	□	-1	□	□	-1
33	□	□	□	□	-1	□	□	□
39	□	□	□	□	-1	□	□	□
45	□	-1	×	□	-1	-1	×	-2
49	-1	×	☆	×	☆	-1	☆	×
51	□	□	□	□	-1	□	□	□

有了4－5节的研讨，我们知道：改变起点其实就是再施行一个循环平移，以起点的行标之差为t，列标之差为s。循环平移可以保持n阶方阵行、列及泛对角线不变，即原来在一线上的n项仍在同一线中！所以改变起点对完美幻方的制作没有什么影响。循环平移使另外两条泛对角线转而成为主、副对角线，而飞法结果仅差1或2线的正是主、副对角线不合幻和的半幻方，通过改变起点有可能得到修正，成为一个幻方，但是我感觉到：这种改变起点的成功可能性不大！

3、变换转向步，期望飞出好的效果

除了马步起点和步数q，变换跳跃方向及转向步，也能修正飞的效果。但要从这四项内选出最佳组合，达到理想效果真也不容易？丁老先生提议非常巧妙，也许是最好的！起点仍在C(1,2)，方向为右上跳跃，转向数时的跳格分为：列不变，①向上跳2格，即i=i-2；②向下跳1格，即i=i＋1。我把测试结果录下成表－3，图－8中用小飞4作出的21阶幻方，供同仁赏阅。

116 1 348 233 139 24 371 256 162 47 394 279 185 70 417 302 208 93 440 325 231

138 23 370 255 161 46 393 278 184 69 416 301 207 92 439 324 230 115 21 347 232

160 45 392 277 183 68 415 300 206 91 438 323 229 114 20 346 252 137 22 369 254

182 67 414 299 205 90 437 322 228 113 19 345 251 136 42 368 253 159 44 391 276

204 89 436 321 227 112 18 344 250 135 41 367 273 158 43 390 275 181 66 413 298

226 111 17 343 249 134 40 366 272 157 63 389 274 180 65 412 297 203 88 435 320

248 133 39 365 271 156 62 388 294 179 64 411 296 202 87 434 319 225 110 16 342

270 155 61 387 293 178 84 410 295 201 86 433 318 224 109 15 341 247 132 38 364

292 177 83 409 315 200 85 432 317 223 108 14 340 246 131 37 363 269 154 60 386

314 199 105 431 316 222 107 13 339 245 130 36 362 268 153 59 385 291 176 82 408

336 221 106 12 338 244 129 35 361 267 152 58 384 290 175 81 407 313 198 104 430

337 243 128 34 360 266 151 57 383 289 174 80 406 312 197 103 429 335 220 126 11

359 265 150 56 382 288 173 79 405 311 196 102 428 334 219 125 10 357 242 127 33

381 287 172 78 404 310 195 101 427 333 218 124 9 356 241 147 32 358 264 149 55

403 309 194 100 426 332 217 123 8 355 240 146 31 378 263 148 54 380 286 171 77

425 331 216 122 7 354 239 145 30 377 262 168 53 379 285 170 76 402 308 193 99

6 353 238 144 29 376 261 167 52 399 284 169 75 401 307 192 98 424 330 215 121

28 375 260 166 51 398 283 189 74 400 306 191 97 423 329 214 120 5 352 237 143

50 397 282 188 73 420 305 190 96 422 328 213 119 4 351 236 142 27 374 259 165

72 419 304 210 95 421 327 212 118 3 350 235 141 26 373 258 164 49 396 281 187

94 441 326 211 117 2 349 234 140 25 372 257 163 48 395 280 186 71 418 303 209

图－8是起点在C(1,2)，转向数时向下降1 格，向右上跳跃的小飞4，作出的21阶标准幻方如上，幻和为 4641，它的每一行、每一列及两对角线上数之和都是：4641。

当步数q＝3、6或大飞时，马步法大多是失败！唯有q＝3，转向步为升2格时，可得45阶与49阶完美幻方。好像任何马步q对制作偶数阶幻方皆无。