八、数论的最初知识与马步幻方的分解
数论的最初知识和计算举例
性质1：若a,b都属于整数，且在模n下有：a mod n=c，b mod n=d；
那么则有：(a±b) mod n=(c±d) mod n，ab mod n=cd mod n 成立。
或写成同余式为：a±b=c±d (mod n)， ab=cd (mod n) .
两段结论是等价的，在模n下，前者是求余数的一个运算，称为取模运算；后者可以看作等式两边余数相等，称为同余式，我们在求解过程中可灵活使用。
性质2：若a,b都属于整数，且在模n下：a mod n=(a+bn) mod n 恒成立。
这是取模运算的最基本性质，整数a可以任意加上或减去模n的整数倍，而其值不变，说明了数a在模n下的周期性，也是马步制作幻方中最常用的加减复位法的理论基础。我们常用此性质来简化运算中的因子或取成正数。
定义4：欧拉函数f (x)是定义在自然数集N上，f (x)的值等于0，1，2，3，……，n-1与互质的数的个数。
所以，当n为素数时，f (n)=n-1。
定理二：若n=PPP，则f (n)=n(1-1/P1)(1-1/P2)(1-1/P3)。
推论2：若a,b都是自然数, 且(a,b)=1,即a,b互素， 则有f (ab)= f (a)f (b)。
定理二和推论2是计算欧拉函数f (n)的一般方法，我们能用即可，证明从略。
欧拉定理：设n >1，(a,n)=1，则 af (n) = 1(mod n) 。
如‹ f (9)=6, (2,9)=1, \ 2f (9) =26 =64 =1(mod 9)， \ 4f (9) =46 =642 =1(mod 9)。
费尔马定理：若(a,n)=1，n为素数，那么an = a(mod n)。
如7与13为素数，且(4,7)=1，所以有47 = 4(mod 7)和 413 = 4(mod 13) ，又因(8,13)=1，有823 = 8(mod 23)。灵巧使用两定理将大大简化计算量。
例5：起点总在C(1,2)，①当马步是(-1,4)，转向步为(1,0)时, 计算21阶幻方C(10,4)＝？②当马步是(-1,2)，转向步为(-2,0)时, 计算9阶幻方C(6,8)=?
解：由推论2：(3,7)＝1，所以 f (21)＝f (3)f (7)＝2×6＝12，
代入以上公式（13）得：4s=40+4-6=38=-4 (mod 21)
这样：s=4f (21)-1(-4) =411(-4) =4646 (-1) =-1 =20 . (mod 21) 再由（14）
∴z=20×21+(40-10+2)mod 21=420+32 mod 21=420+11=431 .
由公式（15）：s=
代入（16）：∴z=5×9+(2-5-6)mod 9=45+9=54 。
有了以上的定理与性质，格求数计算简便多了！但涉及不定方程组和取模运算，仍有相当的难度，初学与一般爱好者欣赏了解而已，有否掌握的必要自己决定。何况马步法即使起点固定在某一格，因主步和转向步的变化，仍然有繁多的种类，要写遍相应的公式也难以办到？能够记住定理一马步的通项公式，再对格求数的推算过程有所理解即可，事到临头依样画葫芦。
2、马步幻方的分解
有了起点C(x,y)、主步(p,q)及转向步(u,v)，就确定了一个马步法；因而确定了一个可能成为幻方的
n 阶方阵，这是唯一存在的。诸参数的数值如何？才能够成为幻方，又如何配合，得到的是完美幻方？明显可见，当(u,v)与(p,q)成比例，T为零后以下无法计算，幻方不成立！应该有一个类似D 的判别式？图－11：起点在（ 1 , 2 ），用小飞2， 转向步为（ 0 ,-1 ）可作11 阶马步幻方D：
13 1 121 109 97 85 73 61 49 37 25
38 26 14 2 111 110 98 86 74 62 50
63 51 39 27 15 3 112 100 99 87 75
88 76 64 52 40 28 16 4 113 101 89
102 90 78 77 65 53 41 29 17 5 114
6 115 103 91 79 67 66 54 42 30 18
31 19 7 116 104 92 80 68 56 55 43
45 44 32 20 8 117 105 93 81 69 57
70 58 46 34 33 21 9 118 106 94 82
95 83 71 59 47 35 23 22 10 119 107
120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 11
D是一个 11 阶幻方，其幻和为 671 好， D是一个 11 阶完美幻方！
在格求数计算中，能求出转向次数s 相当重要，s 乘上阶数
n ，再加上一个不超过n余数g （夹在两次转向之间的跳跃步数）就得到了z。我借助电脑的快速，将方阵C所有项的s 算出，组成了n 阶方阵S，它相当于C的行标方阵A，有A＝S＋1；可以想到转向步就意味着换行。再把所有项的g，组成了n 阶方阵G，即 C的列标方阵B。看图－11、12的下半部分是该幻方对应的S 阵和G 阵，从中可以看出一些名堂来。如果说幻方是马步的外部运动构成，那么S 阵和G 阵则揭示了幻方的内部结构。我们可以从中了解，C成为幻方的由来，怎样才达到完美？甚至回溯可寻找判别式的踪迹。这样马步法已经与下标合成法连为一气，我将在第二讲中进行更深入的叙述与探讨，也许你将得到比较满意的答案。
图－12：（下） 以下是格求数计算11阶幻方D 的重要参数S阵与G阵
1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3
3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 6
5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 8 7 6 5 4 3 2 1 11 10 9
7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 3 2 1 11 10 9 8 7 6 5 4
0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7
2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 10
4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 4 3 2 1 11 10 9 8 7 6 5
8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 7 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11
如何选择起点C(x,y)、主步(p,q)及转向步(u,v)的组合，可能得到最佳效果？这是广大喜爱马步法研究者永远不会停止的摸索，我希望当您读过本文，对您的智慧有所启迪，能使你的探索有所促进，让我们一起努力吧！