第二讲幻方制作的下标合成法

湖北省孝感市工业学校曹陵

一、幻方的自然下标及分解

1、数字z与其自然下标i,j

在幻方制作中，如果将走与飞看作某一项（数字）的外部运动，则幻方的下标合成法是从某一项（数字）的内部结构分析入手，其中含有更多的理性。

C是一个n阶幻方，其x行y列上的数字是z(1≤z≤n²)，即C(x,y)=z，又有数字z在n阶自然方阵Ne的i行j列，即i,j是数字z的自然下标。容易知道，在n阶幻方中，数字z与其自然下标i,j总是一一对应的。

2、幻方C的分解

对于n阶幻方C，把数字z的行标i放在n阶方阵A的x行y列，即A(x,y)=i；把数字z的列标j放在n阶方阵B的x行y列，即B(x,y)=j。当遍取幻方C中的所有项，即1≤x,y ≤n时，填满了方阵A与B，这时1≤i,j≤n。A称作幻方C的行标方阵，B称作幻方C的列标方阵，以上过程是幻方C的分解，记为：

A与B是n阶幻方C一对正交的n阶拉丁方，所谓正交，即A与B对应位置上的i,j正好排出所有不同的n²个组合，对应着n²个相异的自然数。所以，幻方C的分解是唯一的，参阅图2－1，是一个四阶幻方的分解。

性质1：在 n阶幻方C中，任何一项数字z与其自然下标i,j是一一对应的；n阶幻方C与其行标方阵A、列标方阵B也是一一对应的关系。

3、用两个正交的拉丁方合成一个幻方

由性质1可知：幻方C的分解是唯一的，其逆过程也是存在的、唯一的。因此，我们可以先构造两个正交的拉丁方，注意到：n阶拉丁方的每一行都是自然数1到n的某一个排列，行和均为n(n+1)/2；只要留心让每一列的交错排列，并兼顾两条对角线，这当然这比幻方是1到n²的二维排列简单得多！

伟大的数学家欧拉最早使用两个正交的拉丁方合成出一个标准幻方。诸位幻方研究者也多有论述，我现在着重于理论的证明，让其作法有根有据，立足稳固，其证法多涉及到和号∑运算，初学者可以忽略，并不影响学会此制作方法。