二、奇数阶幻方的V型自然下标合成法

  1. 奇数阶自然方阵的中行和中列

    2.

    当n为奇数时，n阶自然方阵有一条中行和一条中列，二者成十字形。中行即v行( v=n\2+1=(n+1)/2, )从Ne(v,1), Ne(v,2)，……， Ne(v,n)共n项，中行和为

    中列即v列从Ne(1,v) ， Ne(2,v) ，……，Ne(n,v)共n项，中列和为

    　

    性质2：奇数阶自然方阵Ne存在成十字形的一条中行和一条中列，并且二者行和、列和都正好等于同阶幻方的幻和Sn。

  2. 让行标方阵A与列标方阵B成V型排列

    3.

    由性质2，我们想到把奇数阶自然方阵Ne的中行和中列转换成所求幻方的二条对角线，即在行标方阵A的主对角线与列标方阵B的副对角线上都排作数字v。参阅图2－2：n=9,v=(9+1)/2=5，5在9阶方阵A与B中成V字型，故有其名。除5之外，1到9的其余下标数取某一排列，A内正向，B内逆向，排好第一行；然后A按泛主对角线方向，B按泛副对角线方向，斜走排满第二行到第n行。这样，A与B的每一行、每一列上均遍取下标数1到n而无重复，且为一对正交的拉丁方。以A、B合成幻方C，这是分解的逆过程，可简略记为：C＝n(A-1)+B .

  3. V型合成法的定理证明及适用探讨

定理一：如果A与B是一对呈V型排列且正交的奇数阶拉丁方，则用A为行标方阵、B为列标方阵一定能够合成一个同阶的幻方C，记为：C＝AB。通项C(x,y)=(i－1)n+j ，其中A(x,y)=i，B(x,y)=j。

证明：幻方C的两对角线上正好分别是同阶自然方阵Ne中行、中列的所有项，根据性质2，符合幻和，参阅图2－4。计算幻方C的任意的x行的n项之和时，注意到A与B的x行都是1到n的一个排列，行和恒为n(1+n)/2，因此C的x行和

同理可计算幻方C的任意一列n项之和也是幻和，所以定理一结论成立。

由性质1可知：V型自然下标合成法只适用于自然数1到n 2构造的标准幻方，而对用其它数字构成的广义（奇巧）幻方无效。V型合成法特点和成功关键是将中行、中列转换为十字交叉的两对角线，据性质2得知该法仅适用于奇数阶幻方的制作。去掉下标中数v，奇数阶下标方阵首行有(n-1)!种排列，再则为了正交，A取正向，B取逆向，所以用V型合成法可得到(n-1)!/2个不同的n阶幻方。

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