三

三、素数阶完美幻方的下标合成法

完美拉丁方的制作

定义4：如果一个n阶拉丁方的每一行、每一列及每一条泛对角线均遍取下标数1到n而绝无重复，则称它是一个n阶完美拉丁方。@ · e

乍一看，完美拉丁方的要求是十分苛刻的，但制出她并不困难，借助大名鼎鼎的马步法，一切就迎刃而解！请观看图2－5，先任取1到n 的一个排列，即所谓的幻方密码，排好A与B的首行；再用马步法排满其它n-1行，

表达式：A(1,y)=i, B(1,y)=j, → A(1+t,y+2t)=i, B(1+t,y-2t)=j，

其中遍取：1≤y, i, j≤n, 1≤t≤n-1。排法A为右马步（正向小飞2），B是左马步（逆向小飞2），这保证了A与B是一对正交的n阶完美拉丁方。

2、共轭数和共轭幻方

在n阶自然方阵Ne中，Ne(i,j)与Ne(j,i)是一对共轭数，二者关于自然方阵Ne的主对角线对称；n阶幻方C中每一项都取其共轭数，得到同阶方阵D，记为：D＝C。如果D也是一个n阶幻方，则称C与D是一对共轭的n阶幻方。

如图2－5，在7 阶自然方阵Ne中，Ne(2,5)=12，Ne(5,2)=30，所以12与30是一对共轭数；明显可见，46的共轭数是28，主对角线上项的共轭数就是它本身。不难证明，A与B是V型排列的n阶下标方阵，用A与B合成n阶幻方C，记为：C＝AB；还可以用B与A合成幻方D，即D＝n(B-1)+A，记为：D＝BA，C与D就是一对n阶共轭幻方。

3、完美幻方的下标合成法

定理二：用一对正交的n阶完美拉丁方A与B，可以合成一个n阶完美幻方C及共轭幻方D，记为：C＝AB，D＝BA .即

C(x,y)=[A(x,y)-1]n+B(x,y), D(x,y)=[B(x,y)-1]n+A(x,y).

证明：从n阶完美拉丁方A与B的完美结构看出，它们的每一行、每一列及每一条泛对角线均遍取下标数1到n而绝无重复，所以每一线的下标和均为n(n+1)/2。证法相似于定理一，我只举幻方D的副对角线为例予以说明，

其余每一线（包括泛对角线）都可仿此得证，所以C与D都是完美幻方。

我们用图2－5所作的一对7阶完美拉丁方A与B，合成了图2－6中一对共轭的7阶完美幻方C与D。如果改变拉丁方首行的密码排列，就能生产许多的7阶完美幻方。如果懒于逐项计算，当然可以使用图2－5的7 阶自然方阵Ne中的对应数来填写，十分简便。

完美幻方下标合成法的适用范围

要成功合成n阶完美幻方，关键是能写出对应的n阶完美拉丁方，如何满足每一行、每一列及每一条泛对角线均遍取下标数1到n而绝无重复的要求？

①当j列下标数重复时，有j=(j+2t) mod n , 即2t mod n =0 ；当n 为偶数时，t=n/2使上式成立，即在第t=n/2＋1行处，下标数与第一行重复了，完美不成立！例如n=8，从第五行开始重复，所以完美幻方下标合成法对偶数阶不适用。

②当拉丁方B的主对角线上有数字重复，有x=y， t+1=(1-2t) mod n , 即

3t mod n =0；当n 为3的整数倍时，t=n/3使上式成立，即在第t=n/3＋1行处，下标数在B的主对角线上重复了，完美不成立！例如n＝9，从第四行主对角线处开始重复，所以完美幻方下标合成法对3的倍数阶也不适用。

③当拉丁方A的副主对角线上有数字重复，有x＋y=n+1， [t+1+(n+2t)] mod n =n+1, 即3t mod n =0；当n 为3的整数倍时，t=n/3使上式成立，即在第t=n/3＋1行处，下标数在A的副对角线上重复了，完美不成立！例如n＝9，从第四行副对角线处开始重复，这又说明了完美幻方下标合成法对3的倍数阶不适用。