完美拉丁方的制作三准则

李 渺１ 曹 陵２

（１.南方城乡建设学校 432100 ；２. 湖北孝感工业学校 432111）

摘要：用两个完美拉丁方作为下标方阵正交合成，是制作完美幻方的重要方法。本文进一步研究，得到构造n阶完美拉丁方的三准则，为合成奇数阶完美幻方奠定基础。

关键词：幻方 完美拉丁方 小飞q 三准则 奇合数阶

  1. 完美拉丁方的制作与基础定理

定义1：如果一个n阶拉丁方的每一行、每一列及每一条泛对角线均遍取下标数1到n而绝无重复，则称它是一个n阶完美拉丁方。

乍一看，完美拉丁方的要求十分苛刻，实际制出她并不困难，借助大名鼎鼎的马步法，一切就迎刃而解！先任取1到n 的一个圆排列，即幻方密码，排好拉丁方的首行；再用马步法排满其它n-1行，马步是向下一行，再横向q列，称作小飞q。使用小飞3法右飞得到拉丁方原形A，编号A＝30；左小飞4得到拉丁方B，编号B＝－40。右飞为正，左飞为负，其它类推。若是自身旋转变换后得到的转形棗同构八形，则加上相应的个位编号，我们拟定原形A：0；转置AT：1；副转AS：2；正转A＋：3；反转A-：4；连转A2：5；列转AJ：6；行转AI：7。编号乘以密码即此拉丁方的唯一代码，这样在研究中就有明确所指、清楚且方便，仿制简单易行。

定理一：用一对正交的n阶完美拉丁方A与B，可以合成一个n阶完美幻方C及共轭幻方D，记为：C＝AB，D＝BA .即

C(x,y)=[A(x,y)-1]n+B(x,y), D(x,y)=[B(x,y)-1]n+A(x,y), 1≤x,y≤n .

定理二：如果n为素数，取自然数1到n的一个(圆)排列作为首行，使用各种小飞q法一定可以作出n-3个n阶完美拉丁方原形，并且其中任意两个拉丁方彼此正交。

二、拉丁方阶数n与小飞步数q的关系三准则

n阶拉丁方完美的必要条件是下标数在列、两对角线上皆无重复！

㈠用小飞q法 t次后，在j列重复数字x，有等式：j+qt=j ，即 qt mod n=0 ①成立时，数字x在第 t+1行处重复了，这时n阶拉丁方制作不完美！

㈡当行标等于列标时，此数字又出现在主对角线上，有等式：j =i ，即

(j-i) mod n=0， [(1+qt)- (t+1)] mod n=0 ， (q-1)t mod n=0 ②时，拉丁方不完美！

㈢当行标加上列标等于n+1时，此数字又出现在副对角线上，有等式：j+i=n+1 ，即 [(1+qt)+(t+1)-n-1] mod n=0 ，(q+1)t mod n=0 ③ 时，拉丁方不完美！

定理三：用小飞q法制作n阶拉丁方时，遵循下列三条准则：

⑴当qt mod n=0 ①或(q, n)= b成立时，它从第 t+1行开始列重复。

⑵当取模方程(q-1)t mod n=0 ② ，或最大公约数(q-1, n)= a成立时，拉丁方的主对角线在第 t+1行处重复了；更准确地说主对角线上有t数重复，简称主重复。

⑶当取模方程(q+1)t mod n=0 ③，或最大公约数(q+1, n)= c成立时，拉丁方的副对角线在第 t+1行处重复了；更准确地说副对角线上有t个数重复，简称副重复。

以上取：0<t<n，整数a, b, c≠1，即括号内两数有公约数存在。

因为用小飞q法并不改变密码（圆排列）的顺序，所以生成拉丁方同向的泛对角线上数字是平行对应，有着相似的重复情况！主、副对角线只是泛对角线的代表。当n为素数，显然(q-1, n)=(q, n)= (q+1, n)=1，即n与q-1，q，q+1互质；取模方程：qt mod n=0 ①，(q-1)t mod n=0 ②，(q+1)t mod n=0 ③，当t<n时均恒无自然数解，即这n阶拉丁方行、列、两对角线上数字均无重复，泛对角线上类似。验证了定理二的正确。

三、找出制造合数阶完美拉丁方的小飞q法

以下㈠取模方程或㈡不定方程或㈢最大公约数式三者是等价的，任取一即可。

qt mod n=0 ①， qt=an ①， (q, n)= a ①，

㈠ (q-1)t mod n=0 ②， ㈡ (q-1)t=bn ②， ㈢ (q-1, n)= b ②，

(q+1)t mod n=0 ③， (q+1)t=cn ③， (q+1, n)= c ③，

当t<n时㈠①、②、③俱无解；或当t<n时，㈡①、②、③都没有自然数解；或在㈢最大公约数a=b=c=1时；小飞q才可能制出n阶完美拉丁方。

推论1：任何小飞q法都不能制出2或3的倍数阶完美拉丁方。

证明：当n为偶数时，可设n=2m(0<m<n)，在q-1，q，q+1中至少有一个偶数存在，假设q+1为偶数，就设q+1=2v，代入得 2vt mod 2m=0；当t=m，此式成立，即最多在m+1行时，有列或对角线上出现重复数字。

当n是3的倍数时，可设n=3m(0<m<n)，在q-1，q，q+1中必有一个是3的倍数，假设q-1为3倍数，就设q-1=3v，代入得3vt mod 3m=0；当t=m，此式成立，即最多在m+1行时，列或对角线上开始出现重复。因而推论1得证。

推论2：若用小飞q法能制出n阶完美拉丁方，那么用左小飞q法，即小飞(n－q)或－q也可以制得另一个n阶完美拉丁方。

证明：小飞q制出了n阶完美拉丁方，则有q-1，q，q+1与n 互素。

根据最大公因数的性质定理1*：若a1，a2，…，an不全为零，则

（a1，a2，…，an）＝（│a1│，│a2│，…，│an│）

∴ (-q,n)= (│-q│,n)=(q,n)=1，(q>0)；同理可得

(-q-1,n)= (│-q-1│,n)=(q+1,n)=1；(-q+1,n)= (│-q+1│,n)=(q-1,n)=1.

又可据性质定理2：(a,b)=1的充分必要条件是：存在s,tÎ z，使得 sa+tb=1 .

∴ (q,n)=1Û sq+tn=1Þ (-s)(-q)+tn=1Û (-q,n)=1. 同理可证其它，总之，

-q，-q-1，-q+1与n 互素，左小飞q又可以制得另一个n阶完美拉丁方。

例１：讨论制作25阶、35阶及49阶完美拉丁方时可以采用的小飞q法？

解：⑴当n=25，经检验，仅在q＝2，3，7，8，12，13，17，18，22，23时，①、②、③三式均无解，所以仅有这十种小飞q法可以制出25阶完美拉丁方。其余如q＝9时，当t=5，有5(q+1) mod 25 = 0成立，即在第6行的副对角线上重复了。

⑵当n=35，在1至49内，先圈去5与7的倍数，再划掉以上诸倍数的两旁相邻数，剩下的 q＝2，3，12，17，18，23，32，33，可以制出35阶完美拉丁方。其余如q＝14时列上重复，而当q＝4、13时引起副重复；q＝6时引起主、副双重复。

⑶当n=49，可选择的制法很多！在q＝2，3，4，5，9，10，11，12，16，17，18，19，23，24时，左、右小飞都可制出49阶完美拉丁方。

三准则①、②、③无解是制作n阶完美拉丁方的必要条件，先计算检验一下，再选择使用适当的小飞q法**，能减少一些盲目行动，因而节省许多人力纸张。

*：读者可阅读参考一般的初等数论教材。

**：拘于篇幅，略去幻方例图；有兴趣自作不难，再依定理一公式合成幻方，或来函索取。

2000年6月13日星期二再次修订

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