3m阶完美幻方制作法的突破

（432111 湖北孝感工业学校 曹 陵 ）

摘要：根据构造n阶完美拉丁方的三准则。在高源先生著作的指点及启示下，结合实践创立单重复理论，最后彻底解决了3m阶完美幻方的拉丁方合成这一数学问题

四、3m阶的单向重复拉丁方制作法

主泛对角线简称为主斜线，指向是主方向；类似可定义副斜线和副方向。这样，一个拉丁方分为行、列、主斜线与副斜线四个方向，每一个方向均含属于同一类的n条线。根据推论1，既然没有3的倍数阶完美拉丁方存在，我们只好退而求其次，希望作出3m阶（指属于奇数的3m）的仅有单向重复拉丁方了。

定义6：仅有一个方向（列、主斜线与副斜线其中一类）上重复，但保持这方向的每一线上n数之和仍为n(n+1)/2；其余三个方向所有线都是遍取自然数1到n而无一重复，这样的拉丁方称作n阶单向重复拉丁方。

单向重复拉丁方分为列重复拉丁方、主重复拉丁方与副重复拉丁方三种。在制作3m阶的单向重复拉丁方之前，我们还要先排出3m均匀行作为首行密码。

定义7：当n＝3m，即n是3的倍数时，把自然数1到n分成三组；每组m个数，这m个数之和均为n(n+1)/6，即行和的1/3。第一组m个数放在1，4，7，…，n－2列；第二组m个数放在2，5，8，…，n－1列；第三组m个数放在3，6，9，…，n列；即三组数依次轮流均匀放置，这样的排列称为3m均匀行。

参阅表－1，第一段内是自然数1 到9 可按三阶幻方排列；其余是依照顺序每六个数划为一段，顺序填下去，再逆序排上来（蛇形排列）。这样每一段内纵向三格的两数和相等，三格之间可以任意纵向调换；最后，每一组内的m 个数可随意所欲地横向换位，得到你希望的密码排列；总之，仍要保持三组数的和相等。

表－1：自然数1 到3m 均匀等和三组的分法

　

一(15)

二(25)

三(37)

四(49)

五(61)

六(73)

……

第一组

2，9，4

10，15

16，21

22，27

28，33

34，39

……

第二组

7，5，3

11，14

17，20

23，26

29，32

35，38

……

第三组

6，1，8

12，13

18，19

24，25

30，31

36，37

……

按定义6将n阶拉丁方的首行排成3m均匀行，再选择一种可能的小飞q法。当满足取模方程(q－1)t mod n=0时，主斜线上t数重复；应该使t＝m，这样是第一组m个数在主斜线上三次重复。同理当t＝m，满足 (q＋1)t mod n=0时，第三组m个数在副斜线上三次重复；当满足 qt mod n=0时，每隔t行就列重复了。如此办理，每选择一种小飞q法，就可能作出某一个n阶单向重复的拉丁方。

推论2：①如果(q-1)t mod n=0，则有(－q+1)t mod n=0 成立；②或者当(q+1)t mod n=0时，则一定有(－q－1)t mod n=0 成立。总之，用小飞q法制作n阶单重复拉丁方，左、右小飞q使得一对n阶拉丁方分别在主、副对角线上t数重复。

证明：对于用小飞q法制作n阶拉丁方，有左小飞q等于右小飞n－q，即有：

(－q) mod n = (n－q) mod n恒成立：。①与②在形式上对称，证明类似，我们就以②的证明为例，先把②写成不定方程形式，即 (q+1)t = an Þ (－q－1)s = bn ,右边(－q－1)s = bn Þ

(n－q－1)s = bn ，移项得 n(s－b) = (q+1)s，当s=t, s－b=a时，②的左Þ 右成立。即有当s = t时，取b= t－a，右结论(－q－1)s = bn成立。例如阶数n=9，有步数q=2，当t=3时，

(q+1)t mod 9=0；即出现副重复。这时，有－q=n－q=7，取s=t=3，则(7－1)s mod 9=0成立，说明－q引起了主重复。又例如n=27，有q=7，当t=9时，(q－1)t mod 27=0；即出现主重复。这时，有－q=n－q=20，取s= t=9，则(20+1)s mod 27=189 mod 27=0成立，相应的b=7，a=2，满足b=t－a这个关系式，说明－q小飞引起了副重复。

实践中左、右小飞q在图形上是对称性，多用它们造就一对正交的拉丁方A与B，作为下标合成幻方的补充材料，增加拉丁方的选择和完美幻方的数量。

表－2：制作一些3 m阶单重复拉丁方可用的小飞q法

小飞q

9阶

15阶

21阶

27阶

主重复

－2、4

－2、7

－2、4、－5、10

－2、4、－5、7、－11、13

副重复

2、－4

2、－7

2、－4、5、－10

2、－4、5、－7、11、－13

列重复

3、－3

3

3、9

3、6、9、12

　

图－2：9阶单重复拉丁方E、F、G及合成的9阶完美幻方C与D，其幻和为 369

2

39

4

7

5

3

6

1

8

2

9

4

7

5

3

6

1

8

3

6

1

8

2

9

4

7

5

5

3

6

1

8

2

9

4

7

9

4

7

5

3

6

1

8

2

8

2

9

4

7

5

3

6

1

6

1

8

2

9

4

7

5

3

7

5

3

6

1

8

2

9

4

4

7

5

3

6

1

8

2

9

1

8

2

9

4

7

5

3

6

1

8

2

9

4

7

5

3

6

4

7

5

3

6

1

8

2

9

7

5

3

6

1

8

2

9

4

6

1

8

2

9

4

7

5

3

8

2

9

4

7

5

3

6

1

9

4

7

5

3

6

1

8

2

5

3

6

1

8

2

9

4

7

3

6

1

8

2

9

4

7

5

　

（1）E= 40 * 294753618 （2） F=－40 * 294753618

　

11 81 31 61 41 21 51 1 71 15 79 29 55 41 27 53 3 67

23 48 6 64 17 74 36 58 43 44 21 49 6 70 11 73 32 63

80 29 63 40 25 50 3 69 10 64 14 81 35 57 40 24 52 2

52 5 66 15 73 35 56 45 22 60 43 20 46 5 72 17 75 31

28 62 38 27 49 7 68 12 78 8 66 13 78 34 56 37 23 54

4 70 14 75 33 55 44 20 54 28 59 45 26 48 4 69 16 74

60 37 26 47 9 67 16 77 30 51 7 65 10 77 36 62 39 22

72 13 79 32 57 42 19 53 2 80 30 58 42 25 47 1 68 18

39 24 46 8 65 18 76 34 59 19 50 9 71 12 76 33 61 38

（3）9阶完美幻方C=E * F＝ 40 *－40， （4）9阶完美幻方D＝FG… G= 30 * 672159834

五、用两个正交的单重复拉丁方合成3 m阶完美幻方

推论3：用使用各种小飞q法可以制出3 m 阶的主、副、列三类不同的单重复拉丁方，从这三类中任选二个不同类的拉丁方，则可能合成一个3m阶完美幻方。

观看右表－3：给出部分3m阶用各种小飞q生成单重复拉丁方彼此合成的可能，使用定理二的通项公式，密码同或异都是一样的效果，从中可寻出以下规律：

推论4： E、F是使用小飞q1与小飞q2制出的两个不同类的3m阶单重复拉丁方，当(q1－q2) t mod n = 0或(q1－q2 ,n) = a≠1时，拉丁方E与F正交合成失败。

推论3、4理论上证明相当繁琐！故从略。但它们在实践制作非常有效，确实是合成3m阶完美幻方的一条不可多得的终南捷径。

（1）9、15阶单重复拉丁方合成效果

q

2

-4

3

　

q

2

-7

3

-2

☆

☆

☆

-2

☆

×

×

4

☆

☆

☆

7

×

☆

☆

3

☆

☆

×

3

☆

×

×

（2）21阶单重复拉丁方合成效果

q

2

-4

5

-10

3

9

-3

-9

-2

☆

☆

×

☆

☆

☆

☆

×

4

☆

☆

☆

×

☆

☆

×

☆

-5

×

☆

☆

☆

☆

×

☆

☆

10

☆

×

☆

☆

×

☆

☆

☆

3

☆

×

☆

☆

×

×

×

×

9

×

☆

☆

☆

×

×

×

×

-3

☆

☆

☆

×

×

×

×

×

-9

☆

☆

×

☆

×

×

×

×