近日芜湖王忠汉老先生给我寄来《数步法》一文，几多激励期望之语，触发了我的灵感。数步法是王老先生多年研究的成果精华之一，以下简称为王法，在推广应用中获得巨大成效，我花费很大努力,并参阅王著《幻方棗“龙”的摇篮》第一分册，才算弄清了其思路方法，。我又细读了丁宝训、丁伟明父子合编的《跳格步法幻方》一书，以下简称为丁书，颇多受益。数步法和跳格步法竟是异曲同工，能够名称、作法等方面达到统一。王、丁两位都是德高望重的幻方前辈，研究精深、所著甚多，为了这两方法的计算与普及提高，斗胆评述化简，描述也多引用原文，多有得罪、还望海涵。。

将自然方阵重排列只是一种数与数的对应变换，重排列并不是独立的幻方制作法，它可能产生大量丰富多彩的同构幻方。当马步法构成一幻方C后，可以依照自然方阵Ne与重排方阵M的对应，逐一把C的Ne(i,j)代换为对应的M(i,j)，就得到另一个与C同构的幻方D。在跳格步法时正是依行、列顺序用M(i,j) 来代替Ne(i,j)如此填数的。序码的改变而产生的大量幻方，将分别属于若干个重排码同构类。

把幻方或方阵作为一个图形绕其中心、两对角线、中行或中列旋转能且只能产生8种不同形式，称为同构八形。统计时只能取其中一个作为计数代表。

不改变行、列的方向与顺序，只改变首格的位置，这种下标变换称为幻方坐标系的平移变换。因为对于n阶方阵来说，下标仅限于在1到n之间变动，周而复始，故称其为循环平移，简称平移。i轴与j轴相交于首格，首格是行、列标计的起点，相当于直角坐标系的原点。能由平移产生的幻方属于同一个平移同构类。

马步法为了简便计算与研究，一般将起点定在C(1,2)，按(p,q)／(u,v)制得完美幻方C₁。若要指定起点在C(i,j)格，同步法可制得幻方C₂，起点的改变只是附加上一个平移动作(i-1,j-2)。即使用循环平移法则：将C₁向下平移i-1行，再向右平移j-2列，也可以得到了幻方C₂。对于完美幻方来说，平移后得到一个与之同构的完美幻方。换而言之，如果C₁ 和C₂都是完美幻方，C₁(i,j) =C₂(x,y)=z，并成立：

C₁+(i,j) =C₂+(x,y) 或 C₁＋(i－x,j－y)=C₂ ，那么则C₁ 与C₂同构。

马步法一般是以1或M(1,1)为开始数，若要指定M(x,y)中z为开始数，则相当将M循环平移(1-x,1-y)，使得z成为M的第一数，移到首格M(1,1)内。

图－3中的幻方C以中心数e=41在中心格C(5,5)开始，而幻方D中41在C(3,4)格里，采用循环平移(2,1)，即D的每一项向下平移2行，再向左平移1列，就得到C，所以两者同构。

因此，只有选用不同的步型组合才可能构造数量惊人的非同构幻方。对于幻方D，若将转向步由(－4,－4)改为 (－3,－1)，则第一个转向步从35原跳到2改为跳到8；明显可见，8与2是在同一条幻线上，据定理三之②知道：得到的是一对同构幻方。运用其①将马步由(-1,-3)改为(1,3)，将逆向跳格得到另一个同构幻方。对幻线的研究将使我们了解更多的幻方结构奥秘。

重排列自然方阵时要用到密码，嫌其名称诡秘，似涉及军事特务，不利普及推广，宜改称序码为好。n阶幻方C内任一条幻线上的n项的顺序是由列码确定，而行码则决定这n条幻线的次序。若按列步(u,v)跳出一自然列上的n数，也可形成一条列幻线。

当序码G=(g₁,g₂,…,g_i,…,g_n)，有

n+1=g₁+g_n= g₂+g_n-1=……=g_m+g_m+1, (n=2m)

=2g_m+1, (n=2m+1) 成立时，

则称G为一个对称码，例如自然序列(1,2,3, …,n-1,n)就是一个n元对称码。

如果n元序码H=(h₁,h₂,…,h_i,…,h_n)，(n=rm，即n是r的倍数)符合下列条件：

将n元序码H从首到尾，依次轮流分给r个小组，每一组得到的m个码数之和相等，都等于n(n+1)/2r，则这个序码的码数是均匀分布，称序码H为n元r均匀码。n阶幻方D依行、列的某一个次序陆续录用，就得到一个n²元的n均匀码，每一组n个码数之和正好是幻和S_n=n(n²+1)/2；若D是n阶雪花幻方棗关于中心对称的任意两项之和均等于n²+1，则得到的为n²元n均匀对称码，这是制作平方阶幻方序码的巧妙之用。使用均匀码或对称码在构造幻方过程中将具有特殊的功能！

⑴制作3m阶完美幻方的充分必要条件是采用3均匀码；

均匀与对称是幻方的奇妙之处，也是制作幻方的宗旨和精髓，对其领悟的深浅，将直接影响你的思维与创新！序码的均匀与对称及配合够我们摸索不止，还有均匀应用在幻方的各类制作法中，可引起浮想联翩，……届时我再作详细的论述。

罗传蕙、曹陵《马步法构造幻方的坐标计算》延安教育学院学报，2000年1月