马步雪花特优幻方的制作
李 渺１ 曹 陵２
（１.南方城乡建设学校 432100 ；２. 湖北孝感工业学校 432111）
摘要：
特优幻方是幻方园中的一枝奇葩，完美后对称！笔者在诸前辈著作的启迪下，偶得一条捷径，用马步雪花幻方制得特优，谨呈出与同仁爱好者共赏，望有抛砖引玉之功。关键词：
特优幻方 小飞q 马步雪花幻方 马步基础三定理一．马步雪花幻方的制作
近日王忠汉老先生来信说到特优幻方，她不但完美，且是对称行、列的平方和相等，还要两对角线的平方和及立方和也分别相等！要求特高，令人神往。附件有太仓钱剑平创作的25阶特优幻方，钱先生构思巧妙，据说还是见到的第一个？好像是以五阶雪花幻方制25元均匀对称码，作法不得明了，用数步法分析也甚艰难。有王老先生的启迪，通过观察，灵感顿然开窍，将雪花幻方优秀的对称性，再加上完美幻方的内涵就得到优化，进而特优。
定义：我们将自然数
1到n2的平均值称作n阶幻方的均匀值，记为e，即e= (n2+1)/2。如果把行看作横线，列视为纵线，中行及中列可统称为中线；则泛对角线称作斜线，每一线上均是n项，这样称谓在研究上或带来简便。
思维路线：（图形）形式的对称 ＋ （数值）内涵的完美 ＝ 优化
关于中心对称的两项和恒为2e 斜线上n项这和为幻和 关于中线对称的行、列平方和相等
_ 特优
（ 两对角线的平方和、立方和分别相等 ）这就是简易异常的马步雪花幻方法，不需要通过重排方阵，就用自然数序，马步跳跃留下了一大批特优完美幻方！马步雪花幻方法可分小飞q与向上小飞q两种，二者关于中行对称，当属同构。以下我将制作方法简要叙述： ( 参数a=n\2, b=a+1)
①向上小飞q法以中心格向上一格C(b-1,b)为起点，马步是向马步上跳跃一行(p=-1)，再向右q格；转向步为向上两格，即(-2,0)，加减复位仍同于一般。
②小飞q法类似①法，把向上改成向下即可，更为简单！以中心格向下一格C(b-1,b)为起点，马步是跳入下一行(p=1)，再向右q格；转向步为向下两格，即(2,0)，其余寻常。
①、②两法俱得到雪花幻方，有优越的对称性，实践时填写迅速，或许比画出方格图还要快！以往习惯于使用向上小飞q法，我想小飞q法无论制作和付于计算较简便，推广给小朋友也许更好掌握。我用VB程序演示到169阶俱成功，至于理论上证明且待以后整理。
图 - 1：马步是（ 1 , 6 ）， 转向步为（ 2 , 0 ），起点在（ 10 , 9 ）可作 17 阶雪花幻方：
282 105 234 57 186 9 121 250 73 202 25 137 266 89 218 41 170138 267 90 219 42 154 283 106 235 58 187 10 122 251 74 203 26
11 123 252 75 204 27 139 268 91 220 43 155 284 107 236 59 171
156 285 108 237 60 172 12 124 253 76 188 28 140 269 92 221 44
29 141 270 93 205 45 157 286 109 238 61 173 13 125 254 77 189
174 14 126 255 78 190 30 142 271 94 206 46 158 287 110 222 62
47 159 288 111 223 63 175 15 127 239 79 191 31 143 272 95 207
192 32 144 256 96 208 48 160 289 112 224 64 176 16 128 240 80
65 177 17 129 241 81 193 33 145 257 97 209 49 161 273 113 225
210 50 162 274 114 226 66 178 1 130 242 82 194 34 146 258 98
83 195 18 147 259 99 211 51 163 275 115 227 67 179 2 131 243
228 68 180 3 132 244 84 196 19 148 260 100 212 35 164 276 116
101 213 36 165 277 117 229 52 181 4 133 245 85 197 20 149 261
246 69 198 21 150 262 102 214 37 166 278 118 230 53 182 5 134
119 231 54 183 6 135 247 70 199 22 151 263 86 215 38 167 279
264 87 216 39 168 280 103 232 55 184 7 136 248 71 200 23 152
120 249 72 201 24 153 265 88 217 40 169 281 104 233 56 185 8
好，C是一个 17 阶完美幻方！其幻和为 2465 .对称行、列上的平方和如下：
482681 482103 480947 479213 476901 474011 470543 466497 461873 466497 470543 474011 476901 479213 480947 482103 482681 469387 474589 484993 480947 472277 468809 470543 477479 489617 477479 470543 468809 472277 480947 484993 474589 469387
幻方C两对角线上的平方和及立方和如下： 478057 478057 104301545 104301545 .
二．马步雪花幻方制作的理论浅谈
丁宝训老先生对马步幻方的各种跳格步型配合，研究精深，我将其理论表述成以下马步基础三定理。这三定理的正确性是明显可见的，具体证明论述可参阅拙作《数步法与跳格步法的统一》，之后又模仿做了幻方数量的统计。
定理一：用主马步
α=(p,q)、转向步β=(u,v)制成幻方的必要条件是：①pq≠0； ②
u≠p或v≠q； ③(u,v)≠k(p,q)， k∈Z．定理二：使用马步法， p
2≠q2是能够作出完美幻方的必要条件；但当(u,v)=(p+t,q+t)或(u,v)=(p+t,q-t)时，在选择适当的起点后，仅可能制得(一般)幻方。定理三：使用马步法，当p2=q2时只有选择适当的起点后，才可能作出
(一般)幻方；但在pq>0且 (u,v)=(p+t,q+t)时，或当pq＜0且 (u,v)=(p+t,q－t)时，制作幻方失败。因为马步雪花幻方制作的特殊性棗p=± 1、
(u,v)=( ± 2,0)，问题变得简单化！类似于拉丁方完美三准则，可以先给出马步雪花幻方制作完美的三条准则。 （证明略）定理四：使用马步雪花幻方制作法，即马步
α=(± 1,q)、转向步β=(± 2,0) 时，起点在中心格的下或上一格。其所得幻方完美遵循下列三条准则：⑴当qt mod n=0 ①或(q, n)= b成立时，制作失败，不成幻方。
⑵当取模方程(q
-1)t mod n=0 ② ，或最大公约数(q-1, n)= a成立时，仅得到(一般)幻方，制作不完美，优化等无从谈起。⑶当取模方程(q+1)t mod =0 ③，或最大公约数(q+1, n)= c成立时，得到也是
(一般)幻方。 以上取：0<t<n，整数a, b, c≠1，即括号内两数有公约数存在。三．分类，数量统计与远望
有定理四的完美三准则依据，加上实践的验证及制作方法，我们将完美特优马步雪花幻方按阶数
n分为奇、偶各三类。依序叙述如下：⑴
n为素数，幻方特优得到简单而圆满的解决！根据基础定理一，除去q≠0，± 1以外，使用各种小飞q，可以制得n-3个特优幻方。⑵
当n为奇合数(但非3的倍数)，当n=mr(mr)时，在可能使用的q=1,2,3,…，n-1,n法内，应有m+r-1个制作失败，不成幻方。而n为平方数(n=r2)时，更引起人们兴趣，应有r个失败；2r个(一般)幻方；还能够得到n-3r个特优幻方，可以说是一大堆啦！例：简述以下奇合数阶特优马步雪花幻方的制作情况可能如何？
|
阶数 |
幻方 |
制作采用的小飞q法 |
合计 |
|
n=25 |
失败 |
q=5,10,15,20,25 |
5个 |
|
一般 |
q=4,6,9,11,14,16,19,21,24,1 |
10个 |
|
|
特优 |
q=2,3,7,8,12,13,17,18,22,23 |
10个 |
|
|
n=35 |
失败 |
q=5,10,15,20,25,30,35,7,14,21,28 |
11个 |
|
一般 |
q=1,4,6,8,9,11,13,16,19,22,24,26,27,29,31,34 |
16个 |
|
|
特优 |
q=2,3,12,17,18,23,32,33 |
8个 |
|
|
n=49 |
失败 |
q=7,14,21,28,35,42,49 |
7个 |
|
一般 |
q=1,6,8,13,15,20,22,27,29,34,36,41,43,48 |
14个 |
|
|
特优 |
q=-5,-4,-3,-2,2,3,4,5,9,10,11,12,……,37,38,39,40 |
28个 |
⑶ 当n为3m数时，情况就艰难起来，仅有九阶特优幻方倒是一个成功典范！其余如n=15,21,27,33, …，看来非用到重排方阵不可，序码的对称、均匀等特性及配合要用足用巧！也可望得到解决，容再探讨。
⑷当阶数为单偶数(n=4m+2)时，完美幻方尚不可得，更无须奢谈优化了？！
⑸阶数为双偶数(n=4m)时，其中又可分出n=2k数，如n=4,8,16,32,64,…，已经做出一部分优化幻方，望同仁先行者能提供图例及作法。能否特优? 可能性不大！
⑹其余双偶数(n=4m)阶，如n=12,20,24,28,36,40,44,48,…，难度会大得多！寻得优化就是个突破！或者其中m(m3)是素数的4m阶可能先期一步得到答案。
今后的工作更多，更复杂，将要我们更多的摸索和验证，不懈努力！与同仁共勉。
对其领悟的深浅，将直接影响你的思维与创新！够我们摸索不止，
敬祝夏日愉快，如意！
撰写与修改於2000年8月5日星期六