在自然数分拆中应用分组数

程国华

摘要 自然数分拆是一个古老且饶有趣味的数学问题,古今中外屡有论述;用分组数M(k,r)来研究它非常便利,它也是分组问题一个重要的实用事例。

关键词 自然数分拆 分组数M(k,r) VB程序

一般情况:把一个自然数k分拆成r个自然数之和,有多少种不同的分拆方法?(即求分拆数的值),多少人为之逞现技巧、苦苦摸索。我们将单位1可看作一个小球,分出的每个自然数算一个盒子,自然数拆分则等同于将k个相同小球放入r个无区别的盒子内,这属于球盒模型。得到

引理１:把自然数k分拆成r个自然数之和,即有x₁+x₂+…+x_r=k 成立,又称作自然数k的可重复的无序分拆,其分拆(方案)数即分组数M(k,r)。

特殊情况:允许自然数k分拆其中某些数为0,可能是有r-1个0到1个0,此时将自然数k从1到r-分拆,即将k表达成不超过r个正整数之和。这等价于允许空盒存在的分组问题,依照分组定理三其分拆数为分组数M(k,1)+M(k,2)+……+M(k,r)=M(k+r,r)。当r=k时,其值为M(k,1)+M(k,2)+……+M(k,k)=d(K),称为自然数k的分拆总数。

情况三:在自然数k无序可重复分拆中,当要求拆分的每一数均大于或等于n,n是预先给定的自然数,应有n≤k/r,否则得到r个n之和大于k,就产生荒谬了!此时,我们可以从这r个数中,每数都减去n-1,得到的分拆法与原分拆法一一对应,这与分组问题中的引理4道理相仿,所以归纳得

推论１:把自然数k分拆成r个自然数之和,当要求分拆中的每一数不小于自然数n,其分拆数为分组数M(k-nr+r,r)。

情况四:当要求分拆中至少存在一个数小于n,n是预定的自然数;则其分拆数正好为分组数M(k,r)与情况三分拆数之差集,此时分拆数为M(k,r)-M(k-rn+r,r)。情况三与情况四之交为空集, 情况三、四之并是一般情况。

情况五特别重要且有趣,我们把它拟为:

定义１:把自然数k分拆成r个互不相等的自然数之和,即有

设(a₁,a₂,……,a_r)是k的一个不重复的r -分拆,且1≤ a₁<a₂<……<a_r,这样的分拆方案有N(k,r)种；令b_i=a_i-i(i=1,2,……,r),则0≤b₁≤b₂≤……≤b_r,

且有b₁+b₂+……+b_r= a₁+a₂+……+a_r-1-2-……-r成立,即b₁+b₂+……+b_r=k-r(r+1)/2,

容易知道这样的(a₁,a₂,……,a_r)与(b₁,b₂,……,b_r)是一一对应的,又有,

结合分组定理三得

定理一:把自然数k分拆成r个互不相等的自然数之和,称为不重复的分拆;其分拆数记作N(k,r),则有

只有当k-r(r-1)/2≥r时,才能得到N(k,r)≠0;

如附图:N(10,3)=M(7,3)=4。

例8:①将12拆分成4个自然数之和,共有多少种不同的分法?②允许分拆的4个数其中可以一部分数为0,又是多少种不同的分法?③当要求拆分的每一数均大于或等于2, ④当要求分拆中至少存在一个数小于2,其分拆数是多少?⑤能否把12分拆成4个互不相等的自然数之和?并将其分法写出来。

解:①将12拆分成4个自然数之和,共有M(12,4)=15种不同的分法,见图2;②当4个数其中可以一部分数为0,有一个数为是0时分拆数是M(12,3),有二个数为是0时分拆数是M(12,2),有三个数为是0时分拆数是M(12,1),所以不同的分法共有M(12,1)+M(12,2)+M(12,3)=M(12+3,3)=M(15,3)=19种。

⑤所以12分拆成4个互不相等的自然数之和的分法只有2种,即12=1+2+3+6 与 12=1+2+4+5 .