分组问题的丰富内涵
湖北省孝感工业学校 曹 陵 华东船舶工业学院 臧正松
摘要：序篇从佛经中引出了相同元素的分组问题，并探讨与证明了定理一至三，从而彻底解决组合分析中的球盒问题。本文模仿杨辉三角形给出分组问题的Ｍ
(k,r)值表，及分组函数d(k)与s(k)，将分组问题的性质和计算进一步拓展深入，得到完整的理论体系与美妙的几何结构。关键词：Ｍ（ｋ，ｒ）值表 分区 分组函数 几何结构
四、分组问题Ｍ（ｋ，ｒ）值表的构造与递推原理
为了使读者对分组问题有全面、系统、理论上的认识，我们以定理二为基础：
M(k,r)＝∑M(k-r,i) ，模仿组合数的(Pascal)杨辉三角形“△”的形式，通过计算得到了相同元素分组问题的M(k,r)值表。表内第k行第r列之值，表示k个相同元素分成r个无序组的分法种数即分组数M(k,r)。藉此，我们可以进一步深入分析，并验证所得的公式与性质。以下是
M(k,r)值表 ，请细心赏阅，谢谢！表－１：相同元素分组问题的
M(k,r)值表 0<k<21
定义3：在相同元素分组问题的Ｍ（ｋ，ｒ）值表中，根据分法种数之值的性质可分为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个区域。ｒ＝１、２、３时，此值称作Ａ区的前三项； 当ｒ＞[k/2]时，该值称作Ｄ区的尾项，又称递推项，记为Ｄ（ｋ，ｒ）；当[k/3]≤ｒ≤[k/2]时，这是Ｃ区的递减项，记作Ｃ（ｋ，ｒ）；
当３＜ｒ＜[k/3]时，此值是Ｂ区的夹缝项，记作Ｂ（ｋ，ｒ）。
定义4：在相同元素分组问题的Ｍ（ｋ，ｒ）值表中，第k行的k个值之和构成了分组函数d(k),即 d(k)=M(k,1)+M(k,2)+……+M(k,k)=∑Ｍ(ｋ,ｉ) =Ｍ(2k,k),仿佛０的阶乘０！＝１，我们规定d(0)=1 ；又定义了分组函数 ： s(k)= ∑d(j)=d(0)+d(1)+d(2)+……+d(k)。
我们就会看到， d(k)与s(k)这两个函数在Ｍ（ｋ，ｒ）的分析和计算中起到重要的作用。
在Ｍ（ｋ，ｒ）值表内，由引理１(4)：M(n,n+k)=0 可知，第ｋ行有且仅有ｋ个值，所以M(k,r)值表呈等腰直角三角形“x ”出现，Ａ区的前三项比较简单，前面已经论述，不再重复。现在从Ｄ区开始探讨，由定义２可知：Ｄ区占M(k,r)值表的一半略多，而Ｃ区占了M(k,r)值表六分之一稍强，其余是Ｂ区的夹缝项，我们依次予以分析。
当ｒ＞[k/2]时是Ｄ区的尾项。尾项从k=4行出现，k行共有[(k+1)/2]项，有D(k,r)=M(r+t,r),
0<t<r成立。这时，先让r组每组先分入一个元素，再将剩余的t个元素加入，则至少存在着 r-t个单元素组，如同将2t个元素在t个无序组内分配，即M(r+t,r)=M(2t,t)。应用引理３，同样也可以得到这一结论。
定理四：将k个相同元素分成r个无序组，当ｒ＞
[k/2]时，分法种数称作尾项D(k,r)，有计算公式成立：D(k,r)=M(r+t,r)=M(2t,t)=d(t)=d(k-r), 其中 r+t=k即t=k-r，而 0<t<r, (k,r,t∈N)。例如：M(27,24)=M(12,9)=M(7,4)=M(6,3)=d(3).这就是Ｍ（ｋ，ｒ）值表尾项的递推原理。在Ｍ（ｋ，ｒ）值表中，由主项M(2r,r)=d(r),r∈N，向斜下方“
↘”(即-π/4方向)递推，即这一线上所有的项值相同，组成了Ｍ（ｋ，ｒ）值表的D区递推带。上述定理也可以由定理二推导而出，当r=k时,t=0,这就是规定d(0)=1的道理。当t=r时公式也成立，即M(2r,r)=d(r)，该值称作Ｍ（ｋ，ｒ）值表的主项，主项M(2r,r)=d(r)只在k为偶数行的中间出现。k行有[(k+1)/2]个尾项,令[(k+1)/2]-1=u，则D区尾项由尾向首依次为d(0),d(1),d(2),……，d(u)；k行尾项的总和为s(u)。