摘要：序篇从佛经中引出了相同元素的分组问题，并探讨与证明了定理一至三，从而彻底解决组合分析中的球盒问题。本文模仿杨辉三角形给出分组问题的Ｍ(k,r)值表，及分组函数d(k)与s(k)，将分组问题的性质和计算进一步拓展深入，得到完整的理论体系与美妙的几何结构。

Ｍ（ｎ，ｒ）＝∑Ｍ(ｎ－ｒ，ｉ）,M(k,r)项的值为向上r行即(k-r)行的前r个值之和；当剩下的k-2r项都是尾项时，即要求r≥(k-r)/2，推出 3r≥k，所以满足条件[k/3]≤r≤[k/2]时，该项被称作中项或递减项。再由定义３可以知道：k-r行各项之值总和为d(k-r),

先仔细观察分组问题的Ｍ（ｋ，ｒ）值表 ，在ｋ为偶数时，这行中央出现了主项Ｍ(2r,r）=d(r)，主项向斜上方“↖”（即3π/4方向）依次递减d(0)+d(1)+d(2)+……，即依次递减１,1,2,3,5，……，直抵Ｂ区夹缝项阵前；组成 Ｍ（ｋ，ｒ）值表的递减带，

例４；计算分组数 Ｍ（３３，２０），Ｍ（３７，１４）及Ｍ（４２，１９）。

解： （１）对于M(33,20)，k=33，r=20；因为20>[33/2]=16，所以M(33,20) 是尾项D(33,20)。根据定理四：D(k,r)=d(t), t=k-r=13，因此 ，M(33,20)=D(33,20) =d(13)=101。

（２）对于M(37,14) ，因为12=[37/3]<14<[37/2]=18，所以M(37,14) 是递减项C(37,14)；根据定理五：k-r=23，v=k-2r-1=8，因此 ，M(37,14)= C(37,14)=d(23)-s(8)=1255-67=1188。

（３）对于M(42,19) ，因为14=[42/3]<19<[42/2]=19，所以M(42,19) 是递减项C(42,19)；根据定理五：k-r=23，v=k-2r-1=3，因此 ，M(42,19)= C(42,19)=d(23)-s(3)=1255-7=1248。

例５； 验证中项 C(k,r) 沿3π/4方向“↖”的递减原理，并举例说明。

证：从C(k,r)向下J行再向右J列“↘”得到M(k+J,r+J) ，且适合条件：r+J≤(k+J)/2，即2r+2J≤k+J，J≤k-2r,所以M(k+J,r+J)也为递减项；当取“＝”号时得到的是主项。

Ｃ(k+J,r+J)在C(k,r)与主项d(k-r) 之间。根据定理五有： Ｃ(k+J,r+J)－C(k,r)

＝d(k-r)-s(k+r-2r-2J-1)- d(k-r)+s(k-2r-1)= s(k-2r-1) -s(k+r-2r-2J-1) =d(v)+ d(v-1)＋……＋d(v-J+1)，以上v=k-2r-1，结果是Ｊ项之和。说明了从Ｃ(k+J,r+J)到C(k,r)的依次递减原理，其中Ｊ为不大于k-2r的自然数。（参阅 图―２的右上部分）

比如例４的递减项C(37,14)，取Ｊ＝５时得到C(42,19)在C(37,14)与主项C(46,23)=d(23)=1255之间。此时v=8，中项C(42,19)沿3π/4方向“↖”斜上依次递减d(4)，d(5)，d(6)，d(7)，d(8)共５项，即C(42,19)=1248 向“↖”斜上依次递减5，7，11，15，22后，得到中项C(37,14)=1188。

例６：试分析Ｋ行主项沿3π/4方向“↖”斜上共衍生多少个递减项？并举例说明。

解：由定义可知：k当为偶数，k行主项在中央k/2列为M(k,k/2) 。设其共产生了x个递减项，如图－２左下方所示，最后一个递减项在k-x行k/2-x列为

C(k-x,k/2-x)，它应当满足定理五的要求：即有k/2-x=[(k-x)/3] 成立。可先化成不等式：k/2-x≤(k-x)/3，推出 3k/2-3x≤k-x，k/2≤2x，k/4≤x，即x应取满足该式的最小自然数，因k为偶数，等价于x=[(k+2)/4]；所以Ｋ行主项沿3π/4方向“↖”斜上一共衍生了[(k+2)/4]个递减项。

如在例５中，主项为(46,23)=d(23)=1255，x=[(46+2)/4]=12，即k=46行主项共产生12个递减项，依次是1254，1253，1251，1248，1243，1236，1225，1210，1188，1158，1116，1060。

又如k=36行主项是M(36,18)=d(18)=385 。有x=[(36+2)/4]=9,，即主项M(36,18)向“↖”斜上依次衍生出９个递减项，它们依次是384，383，381，378，373，366，355，340，318。

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