分组问题的丰富内涵

湖北省孝感工业学校 曹 陵 华东船舶工业学院 臧正松

摘要：序篇从佛经中引出了相同元素的分组问题，并探讨与证明了定理一至三，从而彻底解决组合分析中的球盒问题。本文模仿杨辉三角形给出分组问题的Ｍ(k,r)值表，及分组函数d(k)与s(k)，将分组问题的性质和计算进一步拓展深入，得到完整的理论体系与美妙的几何结构。

关键词：Ｍ（ｋ，ｒ）值表 分区 分组函数 几何结构

六、基础五定理的血肉联系及应用

自从探索球盒问题的最终解决以来，我们先后推导出定理一至五，这五个定理共同构造成相同元素分组问题的理论基础。那么，它们彼此之间又有怎样的联系呢？且看以下的论述：

(1)由定理二：M(n,r)=∑M(n-r,i)=∑M(n-r,i) +M (n-r, r)，有∑M(n-r,i)=M(n-1,r-1)成立，所以递推公式M(n, r)= M(n-1, r-1)+M(n-r, r)成立 ，可见定理一能从定理二推出并加以证明。

(2)至于反映球盒问题，允许空盒存在的定理三： M(n,1)+M(n,2)+……+M(n,r)

=∑M(n,i) =M(n+r,r) , n≥r，它在表达形式上，几乎就是定理二的翻版。
图－３：主项M(2r,r)=d(r)，向上依次递减

d (0), d (1), d (2),d (3), ……

　

图－４：主项向下递推，其值永恒不变。

　
11、15、22……等为主项，向下递推

　

89 73 55 42 30 22 15
-d(4)

116 94 75 56 42 30 22

-d(3)

m

146 123 97 76 56 42 30

-d(2)

m

186 157 128 99 77 56 42

-d(1) m m
230 201 164 131 100 77 56

-d(0) m
288 252 212 169 133 101 77
… … … … … … …

11 7 5 3 2 1 1
14 11 7 5 3 2 1
20 15 11 7 5 3 2
26 21 15 11 7 5 3
35 28 22 15 11 7 5
44 38 29 22 15 11 7
58 49 40 30 22 15 11
71 65 52 41 30 22 15
90 82 70 54 42 30 22

　

(3)尾项D(k,r)既然是分组数中的一类，当然也应该适合定理二，有 D(k,r)=∑M(k-r,i)成立，即它等于k-r行的前r个值之和。因为尾项D(k,r)满足条件：r>k/2,推出k-r<r，由分组常识及Ｍ（ｋ，ｒ）值表构造得知，k-r行有且仅有前k-r个非零值，其余项均为零；所以D(k,r)只好等于k-r行各值之和，即D(k,r)=d(k-r)，因此，定理四可以看作是定理二的推论。

(4)定理五： C(k,r)=d(k-r)-s(k-2r-1)。对于尾项D(k,r)来说，满足条件r>k/2，即2r>k，必有k-2r-1<0，因而此时推出s(k-2r-1)=0恒成立；定理五则成为 D(k,r)=d(k-r)，明白易见，定理四仅仅是定理五的特例。

如此看来，定理一、三、四、五均可由定理二推出并证明为真。定理二是根基象一枝肥藕，生出定理三似一叶绿荷，其它三者如萌发绽开的红、黄、白三朵莲花，彼此斗艳，香飘四方；而根底脉络相通，互为映证。

尤其定理四和五，黄白相间，分别是Ｍ（ｋ，ｒ）值表的递推原理和递减原理。参阅图－３和图－４：主项M(2r,r)=d(r)沿3π/4方向“↖”斜上依次递减d(0)，d(1)，d(2)，……，即依次递减１,1,2,3,5，……，直抵Ｂ区夹缝项阵前；主项d(r)沿-π/4方向“↘”斜下依次递推，其值永恒不变。

定理四、五主宰了Ｍ（ｋ，ｒ）值表三分之二多项的计算，带来极大的便利，我最初正是如此推算出前四十行的Ｍ（ｋ，ｒ）值表。

中间区域从k=15行开始，出现了Ｂ区的夹缝项，此时k行共有夹缝项[k/3]－4个，夹缝项满足条件：3<r<[k/3]，并且每向下三行增加一列，最终从k=36行起超过了递减项的个数。笔者经过反复的思索搜寻，遗憾的是没有找到其相应的计算公式？看样只好用定理二的公式来计算夹缝项了！幸好比起Ｃ区和Ｄ区来说，夹缝项更贴近Ａ区的前三项，相比而言，计算量会少一些。当然我仍旧希望定理二这枝嫩藕，再绽放一朵艳丽的莲花，得到比较简便的计算公式，成功与否，这就看大家今后的努力啦！