雪花幻方及其优化性
李 渺(湖北南方城乡建筑学校 432100)
摘 要 特优幻方是幻方园中的一枝奇葩，既完美又对称。笔者用 马步法制得雪花幻方可表现出特优性，并意外地发现，七阶雪花幻方主对角线具有五次等幂 性，谨呈出与幻方爱好者共赏!关键词 特优幻方 雪花幻方 马步法 等幂和数组
最近，安徽王忠汉先生来信提供了一种特优的幻方，其不但完美，对 称行、列的诸数平方和相等，而且两主对角线的和、平方和、立方和也分别相等。附件有太 仓钱剑平创作的25阶雪花幻方，其构思巧妙，所表现出的优化对称性，引起了我们探讨的兴 趣。本文，我们想将这类雪花幻方作一系统的研究。 定义1 n阶幻方的最小数是1，最大数是n2，我们把n2＋1称 作n阶幻方的幻补常数，称1 (n2＋1)/ 2为均匀值。如果a＋b＝n2＋1 ，则称(a，b)为幻补数对。定义2 如果一个n阶幻方，关于中心对称的两格，所含的两数a，b是互为 幻补数对，则称这个幻方为n阶雪花幻方。
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图 1
图1是五阶雪花幻方，其均匀值(52＋1)/ 2＝13也 是它的中心数，正处在方阵的中心格，关于这格对称的两数和都为26。这就是最简单的雪 花幻方。不难验证，它还是一个完美幻方，且对称行对称列诸数平方和相等。两条主对角线 的平方和、立方和也相等。
一、构造方法
雪花幻方就象雪花一样是一种关于中心对称的结构，它构造方法不是通过重排方 阵硬性凑成，而是用自然数序，采用马步法(见文(1))就可完成。
据文(1)叙述的原理，我们选取参数a＝n 2，b＝a＋1，则奇数阶雪花幻方制作方法如下：
(1)向上小飞q法以中心格向上一格C(b－1，b)为起点，马步参数是向上跳跃一行(p＝1) ，再向右移q格转向步为向上两格，即(－2，0)，加减复位仍同于一般情形。
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图2 七阶雪花幻方
(2)向下小飞q法，把(1)中向上改为向下。以中心格向下一格C(b－1，b)为起点，马 步参数是向下跳入一行(p＝1)，再向右移q格；转向步为向下两格，即(2，0)，其余同上。
以上两种方法都可得雪花幻方，笔者曾用VB程序演示到169阶幻方俱成功。其理论上的证明 这里不再详述。图2是用这种方法构成的七阶雪花幻方(马步是(1，3)，转向步为(2，0)，起 点在(5，4))。
二、数量统计
应用马步法制造雪花幻方只适用于奇阶幻方。当n为奇数时，基本上得到解决，使 用各种小飞q法，可以制得n－3个特优幻方。但当n为3K时，只有九阶雪花幻方具有这种优化 性，其它阶尚未找到实例。安徽王忠汉先生，设100元奖金，奖励第一个发现15阶；21阶特 优雪花幻方的人，希望读者试着研究，争取在这方面有所突破(见文(2))。而n≠3K时，其它 奇合数阶幻方都可构造出这种雪花幻方，例如25阶，特优雪花幻方共有10个，35阶有8个，4 9阶有28个。
三、优化性的探讨
这种雪花幻方，由于还是完美幻方，故具有许多优美的特性。象图2的七阶雪花幻 方，七行七列、14条泛对角的和全相等，关于中行、中列、两条主对角线对称的两行或两列 、两条泛对角线所含的数字的平方和必相等，这个性质正是由于雪花幻方的哪种对称性所决 定的。
所谓的特优性，是因为其两条主对线诸数和、平方和、立方和均相等。由于两条主对线交叉 于25这格，故我们可对其它六数作一分析：
第一组：16，5，36，14，45，34
第二组：10，29，6，44，21，40
经过计算，我们意外地发现，它们竟然可以分解成下列四个平方和相等的数组：
162＋142＋452＝342＋362＋52＝2477
102＋442＋212＝402＋62＋292＝2477
进一步可以看到，两条对角线的四次方和也相等，除了25外，我们有：
164＋144＋454＋344＋364＋54＝7221154
104＋444＋214＋404＋64＋294＝7221154
我们索性检查一下它们五次和的情形，发现
165＋145＋455＋345＋365＋55＝292019250
105＋445＋215＋405＋65＋295＝292019250
好了，我们已步入了高峰，就是说图2的七阶雪花幻方的两条主对角线的诸数和、平方和、 立方和、四次方和、五次方和全部相等。表现出一种层层而上的秩序美，确实给人一种奇异 的妙趣。看来，11阶、13阶及其更高阶雪花幻方，是否可以找到9次、11次及其更高次的等 量和数组，确实值得我们作一番勇敢的探索了。
湖北孝感曹陵老师和陕西延安高源老师，对此文作了重要的修改，在这里一并表示衷心的感 谢。
参考文献(1)罗传蕙，曹陵马步法构造幻方的坐标计算延安教育学院学报2000(1)
(2)王忠汉，林镜清幻方专辑中国幻方研究者协会编2000年10月
2000年第4期 延安教育学院 学报 NO42000