幻方研究者总欢喜向难题进军,有机会组织一次幻方研究中的"淮海战役"我非常高兴.下面是关于这一战役的初步设想.请初中老师安排向15阶特优完美幻方进军; 请高中老师安排向21阶特优完美幻方冲剌.请你们注意一下由"曹氏软盘"提供的"幻方档案". 它给出了那么多特优完美,可就是没有15与21. 曹陵先生拥有电脑的优势,显然进行过大量的试探.这意味着通过自然方阵的路希望不大. 因此,我们的前进方向取对称型对应密码.如果它是存在的,我们将得到一块金牌; 如果它是不存在的,我们将得到一个"猜测".它将推动数学向前人未曾涉足过的领域前进.现以15阶为例,介绍进军的基本路线.

一. 找出全部3*5阶矩阵

10 14 4 7 5        15阶矩阵的模样如图1,其行和等于40,列和等于24.由15阶矩阵可得一

3 1 8 15 13        对对称型对应密码.当横排时为位置密码; 当竖排时为基数密码,其模样如图2.

11 9 12 2 6       

  图 1

     二. 编制起点方阵

位置密码是每行大小关系的指令;基数密码是各行基数的指令.在15阶时,它们依次是:1～15,16～30,31～45,...211～225.

    三. 步法试探

    步法由1～15任取其2的组合决定.由于它们存在大批重复,由1～7中任取其2的组合即可.它们依次是:1与2,1与3,1与4....... 6与7共21个.每个取法各存在6种对称形式,它们有的成立有的不成立.现以取1与2为例来给予说明.它的6种形式是:上1左2—上1右2,上1左2—下1左2(关于轴对称);上1左2—上2左1,上1左2—下2右1(关于对角线对称);上1左2—上2右1,上1左2—下2左1(旋转对应).当所取步法使起点方阵全部元素均可进入幻方方阵时为成立,即它们之间存在一一对应.试探表明,仅轴对称的两个步法成立, 所得试探方阵如图3与图4,它两都是左向完美幻方.左向与右向是关于对角线我选用的名词.当"撇形"时为左向;当"捺形"时为右向.

  四. 试探方阵

    试探方阵存在七个类型,它们是:1.不是幻方,2.普通幻方,3.左向完美,4.右向完美,5.完美幻方,6.特殊完美幻方,7.特优完美幻方. 我们的目标是特优完美幻方,即对角线立方和相等.当立方和不等而平方和相等时,称之为特殊完美幻方,也很宝贵.

五. 建立档案

    以上试探表明,当15阶时每套密码存在42个解,相当于每人一解一个班级的工作量.若所得密码为数不多,出马一个学校或许就够了; 若密码较多,还得另找对象. 若此行有机会与丰乐河镇小学校长见面,我将动员他们来接下面的班. 幻方是小学四、 五年级数学竞赛的重要内容,解出一解,理应是有益的;当21阶时,试探步法将取1～10,存在45个步法,也相当于一个班级的工作量.21阶的试探给出一例如图5与图6.这套档案的建成是幻方研究的一个重要进展,功德无量,望能得到你们的大力支持.在动手向15、21阶进军之前,请先组织同学们完成欢迎香港回归7阶

    完美幻方"每人一解"游戏,其密码分配如下.

初中部: 101班 12..... 102班 13..... 103班 14.....

        201班 21..... 202班 23..... 203班 24.....

       301班 31..... 302班 32..... 303班 34.....

高中部: 101班 41..... 102班 42..... 103班 43.....

       201班 51..... 202班 52..... 203班 53.....

       301班 61..... 302班 62..... 303班 63.....

 让每人的密码与学号挂钩,则所有试卷将全不相同.

 步法均取 上1左2—上2左1.

   请检查所得幻方是否特优完美.

    完成了这份试卷,就具备了冲击15、21阶特优完美幻方的能力.

六. 远景预测

     从给出的三份试探中可以看出一点迹象. 15阶的两份都不是完美幻 方,而21阶的一份却是完美幻方. 这意味着21阶完美幻方比较容易找到,例如取步法上1左7—上7右1又是一例. 这点迹象有可能导致这兄弟二人分道扬镖.1782年,欧拉(Leonhard Euler 1707—1783)猜想问世.很多数学家为了证明它的正确进行了可贵的努力.直到1959年春才有定论.印度的两位数学家玻色(R.G.Bose)和史里克汉德(S.S.Shrikhande)成功地构造出22阶欧拉方阵.稍后,美国数学家派克(E.T.Parker)又给出了10阶欧拉方阵.而6阶欧拉方阵确实不存在.或许这就是分道扬镖的先驱.

    附寄"幻方档案"一份,供了解情况. 并请鼓励你们的学生有所贡献.

祝

合 作 顺 利

王 忠 汉

2000.10.25.