杨高石先生:

    2000年12月2日来信收到,感谢您对中国幻方研究者协会的支持.寄去丁宗智著《幻方》与高源著《奇妙的幻方》各一本,供参考.当有朝一日对研究10阶特优完美幻方有兴趣时,《智慧之窗》第二期上的方法可供参考.在动手编制幻立方之前, 先研究10阶特优完美幻方的探索,将有助于今后对幻立方的探讨.

    在丁昱文小朋友12月28日写给您的信中,有一对非常有用的宝贝: 一个是数步法;一个是减半法.这是打开特优完美幻方宝厍的一套钥匙.现将我对10阶特优完美幻方探索的思考介绍如下:

从6阶探索中得到的信息:苏茂挺先生把幻方分为两类: 由1一n攩2攪个连续自然数编成的n阶幻方,称为正则型幻方; 由n攩2攪个不同自然数编成的n阶幻方,称为定值型幻方.现已证明,4m+2阶型不存在正则型幻方,它的幻方都是定值型.

1. 关于定值关于6阶,它存在两个定值: 当120时,完美幻方存在;当234时,特优完美幻方存在.特优幻和,小于完美幻和的两倍.幻方研究的实践表明一模仿法往往成立.关于10阶:当580时,完美幻方存在;由此得出,其特优幻和小于1160.

2. 关于定组和为234的6阶特优完美幻方,由跳4型的数组而得; 由此,10阶特优完美幻方的探索,可取跳6型的数组而得.如此,则第一组为1 2 3 4 5 7 8 910 11.第一组是等值方阵列分组的数据.两对称数之差为:10 8 6 4 2.其和为30,等分不存在.进一步计算得,当跳过三个数6 7 8 时,等分成立.即由1 2 3 4 5 9 10 11 12 13 得12 10 8 6 4 .其和为40,有12+8=10+6+4 得1 3 12 10 9 ,13 11 2 4 5.这种取数可以称之为跳三型.取14个跳三型对称数组(也取跳三,跳过的三组是92一104,105一117,118一130):

1一 13 14一 26 27一 39 40一 52 53一 65 66一 78 79一 91

209一221 196一208 183一195 170一182 157一169 144一156 131一143

差: 208 182 156 130 104 78 52

在七个差数中任取其五,当等式成立时,其等值方阵存在.

有 208+182=156+130+104 208+156=182+130+ 52

208+156=182+104+ 78 208+130=182+104+ 52

208+104=182+ 78+ 52 208+ 78=130+104+ 52

182+130=156+104+ 52 182+104=156+ 78+ 52

153+104=130+ 78+ 52

由此,等值方阵存在九型.

3.关于等值方阵

其等值方阵如图1.

1 10 9 3 12 2 11 5 4 13 对图1取步法(Ⅰ)

170 179 178 172 181 171 180 174 173 182 得图2.它是完美幻

131 140 139 133 142 132 141 135 134 143 方但并不特优.

27 36 35 29 38 28 37 31 30 39

196 205 204 198 207 197 206 200 199 208

14 23 22 16 25 15 24 18 17 26

183 192 191 185 194 184 193 187 186 195

79 88 87 81 90 80 89 83 82 91

40 49 48 42 51 41 50 44 43 52

209 218 217 211 220 210 219 213 212 221

图 1

上 1 左 2 上 1 右 2

10 204 29 142 170 171 143 30 200 11

上 133 181 1 205 35 31 206 2 182 134 上

1 196 36 139 172 12 13 173 135 37 197 1

右 178 3 207 27 140 141 28 208 4 174 左

2 38 131 179 9 198 199 5 180 132 39 2

51 79 192 22 211 212 18 193 80 52

下 191 16 220 40 88 89 41 221 17 187 下

1 209 49 87 185 25 26 186 83 50 210 1

右 81 194 14 218 48 44 219 15 195 82 左

2 23 217 42 90 183 184 91 43 213 24 2

下 1 左 2 下 1 右 2

33995970 图 2 33822810

由于等值方阵存在多种安排, 如果它的特优存在的话,当碰巧时它自会出来的.