幻方的编造方法

       富兰克林的幻方为人所知，并显其异彩，他曾对人说过，他找到了许多窍门，能够随心所欲地构造任何幻方，其速度就象在空格中按序填写自然数一样，但后来，谁也没有掌握富兰克林所找到的窍门。而从传世的俩个富兰克林幻方来看，其主对角线诸数之和互不相等且均不等于幻方常数，这并不符幻方的定义，因此富兰克林所掌握的幻方窍门令人生疑。
       人们一直试图任何阶幻方的编造方法，富兰克林是否找到?现已无法弄清。在17世纪，卢培发现了编造任何奇数阶幻方的统一方法，这种方法非常简单，简单的就同按行依序填写自然数一样，从此人们不再为编写某一个奇阶幻方而付出繁重的脑力劳动了；意大利人vacca编造成一个九阶幻方，其实也给出奇阶幻方的另一种编造方法。虽然其过程比较复杂、但其编造手法巧妙得令人惊讶，他将奇数偶数分填在两个菱形中，然后就可剪开相拼而成。那么偶阶幻方如何编造?到目前为止．人们一直没有找到像奇数阶幻方那样简洁漂亮的方法，现主要使用的构造方法是以低阶幻方为基础的加层法；这种方法不仅不是偶阶幻方独有的统编法(奇阶幻方也可用)；而且阶数越高，加层元素越多，造法越复杂，工作量相当大。近年来，我国学者对偶阶幻方的统编法作了不懈的努力，舒文中的“葫芦形法”就是一种很有效的方法，1993年，任初农发现了一种“阵列变换法”，其规律性较强，是一种比较简单的方法。 ’
      其实，随着阶数的增大；同阶幻方的种数也相当大，现已知道，不同的四阶幻方有880种，不同的五阶幻方有275305224种，不同·5·的六阶幻方也至少有数亿种，试想同阶幻方的种类这么多，其对应的编造方法自然是多种多样的。看来幻方的编造方法，我们的探索是难以穷尽的。幻方至今仍是组合数学的研究课题，由于幻方的应用愈来愈广泛，对幻方的知识作一系统全面的介绍，并在编写方法上作出一般性的研究，现在已显得相当必要了。在后面各章中，我们在三阶、四阶、五阶及六阶幻方的研究基础上，介绍了许多具有各神奇妙性质的幻方，并逐步总结出编造幻方的一般规律。对卢培所发现的奇阶幻方的统编法我们作了大量的拓广，在理论上作了深刻的探索，当阶数n＝4m时，我们介绍了至少6种以上的统编方法，好多方法都是我们独创的；令人感到高兴的是，我们找到了一种阶数n＝4m十2时幻方的统编法的原理，这类幻方的编造是当今人们感到最头疼的，而我们用三种方法解决了这一难题。读完本书各章以后，我们就会像富兰克林所说的那样，能够真正随心所欲地编出任何阶幻方来。