完 美 幻 方 的 结 构
高治源
最近，笔者在国际互联网搜狐网址中(WWW·Sohu·com )，用“magic square”搜索到数万条幻方信息，当大量的幻方实例在电脑屏幕上流水式地闪过时，我们更加感到幻方的世界确实太复杂太庞大了。而这对于研究者来说，要从中找到一种规律，考察起来确实太费精力了。笔者撰写此文，目的想让幻方的变化规律能在我们的研究中变得清晰起来，那么从研究幻方的结构入手，也许是一个很有效的方向。
研究幻方的结构，我们注意到下列几种理论：(1)北京廖福成与湖北郑格于的矩阵理论;
(2)兰州黄均迪的进位制法；
(3)江苏沈锡南的差值互补原理；
(4)贵州施学良提出的“互补数连线图；
(5)山东吴硕辛提出的“α(q,A)”理论，
(6)上海徐桂芳的剩余数理论
(7)西安孙友的函数模型
(8)已普遍被应用的正交拉丁方和幻基方
9)笔者下面将着重介绍的“幻方模型布局图”.
这些理论在研究幻方结构上都有独到之处，可帮助我们对幻方有一个更深刻的认识。
我们知道五阶完美幻方有144个，将这144个幻方全部罗列出来，自然是很费力的事，但如果我们搞清楚它的结构变化，我们就会发现，这144个幻方的抽象结构是完全相同的，它们都可由图(1)的两个模型布局图合成。每个图的五个字母可随意选取1，2，3，4，5的一个排列，正交后用公式y=5(m-1)+n即可演算出一个五阶完美幻方。根据完美幻方的性质，a,b,c,d,e,的取值方法共有〖SX(〗5!〖〗5×2[SX)]=12种，因为这是一种不计逆(顺)时针方向的圆排列。同样A，B，C，D，E对应的取值方法也有12种情况，因此五阶完美幻方共有12×12=144种。144个幻方仅用两个正交的字母拉丁方可概括，我们立即会对五阶完美幻方产生一个清晰的认识。象图1的字母拉丁方，我们称为五阶〖FL)〗完美幻方的模型布局图。进一步观察144个五阶完美幻方，我们发现等幻和的“星座”(图形块，巧的是英国人也这样称呼)：直线(——)、斜线(/)、五星(+)、五宫(×)、北斗(田.)、直角(L)共六类，还有我们无法搞清楚的“差星座”，它们在各个幻方中的变动规律是十分奇妙的，从中我们可以看出五阶完美幻方的内在的变化结构，我们有必要作进一步的探。
七阶完美幻方有多少种?现在还没有准确的统计。因为它包括规则的和不规则的两种情况。日本学者研究的结论是七阶规则完美幻方有6×3602=777600类，七阶不规则的完美幻方至少有64×107类。我们有希望可以把规则的七阶完美幻方研究清楚，图2是四个七阶模型布局图，它们可组成6对正交拉丁方：ST、SX、SY、TX、TY、XY。因7个元素不计方向的圆排列是〖SX(〗7![]7×2〖SX)〗=360种，故每对正交表可生成3602个七阶完美幻方。但笔者细心对照后发现，SX与TY，SY与TX，ST与XY本质上是相同的，而且我们还认为SX、SY、ST之间也可能有轴对称，中心对称、旋转对称的重复现象，因此我们不同意日本学者所得的结论。七阶规则完美幻方的个数还需认真研究后确定。
七阶不规则的完美幻方是由A.L.Candy在1940年首次发现。日本学者士怀狞、阿部乐方作了广泛的研究。他们的研究成果确实是很重要的，日本学者以此为荣是可以理解的。图3给出了阿部乐方发现的一例，从中可看出，A方与B方是关于中列对称的，它们的每行都有重复数字出现，因而具有不规则性。问题是，我们是如何给出这种幻方的模型布局图呢?我们初步研究发现，给A方统加1或2，和为7时变为0，则所得方阵仍然是不规则完美型的，可见顺着这一思路走下去，我们可以找到其变化规律的。至于七阶完美幻方有多少种等幻和的星座，现在还没有人研究清楚。
四阶完美幻方的结构，可用多种模型来描述，图4是互补数对的连线图，我们一般称为对应图，48个四阶完美幻方具有相同的对应图，它形象地反映了四阶完美幻方的内在结构。图5是黄均迪发现的二进制结构图，可以观察到，四阶完美幻方的二进制表示中任何两个相邻的数字，其数码都有“一同三补”的性质。从这一性质出发，构造四阶完美幻方是十分简单的，你只要将任何一数放入任何一格，即可迅速演算出图5，具体方法见文(1)。如果把(13，6，14，9)2,(11，5，7，10)2,(11,12,14,3)2中的各数化成二进制，可构成三个矩阵，而这三个矩阵用吴硕辛的α(q,A)理论演算，就可得三类四阶完美幻方，如A=[JB(｛]1 0 0 10 1 1 01 1 1 01 0 1 1〖JB)｝]=(13,6,14,9)2,演算α(q,A)可得α=(0,13,6,11,14,3,8,5,9,4,15,2,7,10,1,12),将α中的16数顺次填入四阶方阵中即得四阶完美幻方，具体演算见文(2)。13，6，14，9在α中是第2，3，5，9项，从中我们可看到四阶完美幻方的另一种结构模式。
六阶完美幻方用1—36各数构不成，这已由湖北郑格于证明了。但若没有这个条件限制，构造六阶完美幻方是很容易的。图6是六阶完美幻方的模型布局图，如果(a,b,c)，(a1,b1,c1)是平方和相等数组，且a1+a=b1+b=c1+c，那么按图6(2)布局，一定可得一个六阶完美兼行列平方幻方。应注意的是AB、A1B、AB1、A1B1是四个正交的三阶拉丁方，正交后用公式y=kx+x1计算，其中的K可任意选取，但应大于(a,b,c,a1,b1,c1)中最大的数。
研究幻方的结构，我国学者已取得了一定的进展，在国际互联网上，除了日本的对应图，美国的代数模式，以及普遍应用的拉丁方外，再未见到有关理论的出现。为了深刻把握幻方的内在变化规律，我们应重视开头罗列的九种理论的探索，将幻方的研究向深层次发展。参 考 文 献
(1)徐桂芳：《从一块神奇宝玉谈起》，科学杂志1998年1月。
(2)吴硕辛：《α(q, A)语言与高次幻方的研究》，本期延安教育学院学报。
(3)日本、美国的幻方网页，国际互联网“搜狐”网址，1999年5月。
(4)丁宝训，丁伟明《跳格步法幻方》，36页小册子。
(5)黄均迪：《五阶纯幻方知几多》1998年作《七阶纯幻方正交图》，1999年5月作。