幻 方 精 品 欣 赏
我们同幻方迷们的书信往来中,获得许多十分珍贵的幻方, 奇巧有趣,纷繁多样,引人入胜。今收录在此, 供幻方爱好者们欣赏探究。这正是:
一.素数幻方 图1的两个幻方是孪生素数幻方对(孙友作)。图2的素数幻方各数去掉个位数9, 仍是素数幻方(张道鑫作)。图3的素数幻方是四阶完美幻方(施学良作)。
┌──┬──┬──┐ ┌──┬──┬──┐ ┌──┬──┬──┐
│193 │ 19 │241 │ │191 │ 17 │239 │ │2579│4919│ 599│
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│199 │151 │103 │ │197 │149 │101 │ │ 719│2699│4679│
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│ 61 │283 │109 │ │ 59 │281 │107 │ │4799│ 479│2819│
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘
图1 三阶孪生素数幻方 图2 三阶素数幻方
┌──┬──┬──┬──┐
│1871│2089│3461│3259│
├──┼──┼──┼──┤
│3463│3257│1873│2087│
├──┼──┼──┼──┤
│1879│2081│3469│3251│
├──┼──┼──┼──┤
│3467│3253│1877│2083│
└──┴──┴──┴──┘
图3 四阶素数完美幻方
二.奇次自生幻方 图4的两个幻方中各数的 2K+1次方, 其幂的末三位数仍是原幻方各数(a-高源作, b-李杭强作)。注意九宫图是5K次自生幻方。
┌──┬──┬──┐ ┌──┬──┬──┐
│625 │1 ..│499 │ │375 │999 │501 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│249 │375 │501 │ │ 75 │625 │499 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│251 │749 │125 │ │749 │251 │875 │
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘
a b
图4 三阶奇次自生幻方两例
三.反序等积幻方对 图5是四个幻方组成的等式。左边对应格中两数之积等于右边 对应格中两数之积 。奇巧的是左右数字正好反序,如: 18?91 = 81?98。(a-高源作 b-苏茂廷作)
┌─┬─┬─┐ ┌──┬──┬──┐ ┌─┬─┬─┐ ┌──┬──┬──┐
│18│11│16│ │891 │121 │671 │ │81│11│61│ │198 │121 │176 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤
│13│15│17│*│ 41.│561 │781 │=│31│51│71│*│43 .│165 │187 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤
│14│19│12│ │451 │901 │231 │ │41│91│21│ │154 │109 │132 │
└─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘ └─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘
a
┌─┬─┬─┐ ┌──┬──┬──┐ ┌─┬─┬─┐ ┌──┬──┬──┐
│23│36│13│ │352 │693 │341 │ │32│63│31│ │253 │396 │143 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤
│14│24│34│*│51 .│462 │473 │=│41│42│43│*│54 .│264 │374 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤
│35│12│25│ │583 │231 │572 │ │53│21│52│ │385 │132 │275 │
└─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘ └─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘
b
图5 三阶反序等积幻方对两例
四.回还数幻方对(高源作) 图6的两个幻方,a幻方与b幻方对应格相乘,其积取后
五位数, 所得幻方仍是b幻方。如果a幻方各数减1,b幻方各数加1,则对应格两数之积取其
后五位数构成的幻方是a+1 (即a幻方各数减1)。
┌───┬───┬───┐ ┌───┬───┬───┐
│25001 │ 3126 │18751 │ │96320 │96096 │96256 │
├───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┤
│ 9376 │15626 │21876 │ │96160 │96224 │96288 │
├───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┤
│12501 │28126 │ 6251 │ │96192 │96352 │96128 │
└───┴───┴───┘ └───┴───┴───┘
a b
图6 三阶回还数幻方对
五.四阶双平方和数幻方(苏茂廷作) 图7的幻方各数均可写成两数平方和,其幻和
为149也可写成10 与7 的平方和。
10 29 65 45
25 85 34 5
61 17 13 58
53 18 37 41
图7 四阶双平方和数幻方
六.轮环整除数幻方(高源作) 图8 幻方中的9个数都可构成同样的一个圆环 (见 图9)。圆环上任一数可作为首数,以顺时针旋转排列,所得各数正是幻方中的数。它们都可被12345679所整除, 故称为轮环整除数, 这个数的排列结构与九宫图有密切关系。
┌─────┬─────┬─────┐
│382716049 │938271604 │160493827 │
├─────┼─────┼─────┤
│271604938 │493827160 │716049382 │
├─────┼─────┼─────┤
│827160493 │49382716 .│604938271 │
└─────┴─────┴─────┘
图8 幻和为1481481480 图9
七.反差和数幻方(苏茂廷作) 图10a是一个四阶幻方, 幻和为99。奇巧的是幻方中各数具有下列性质:如13,与反序数的差是31-13=18, 18与反序数的和18+81=99。不论哪个数, 先求差再求和必定得到幻和99。图10b是一个六阶幻方, 幻和是1089。
...................┌──┬──┬──┬──┬──┬──┐
...................│178 │198 │158 │205 │165 │185 │
┌─┬─┬─┬─┐ ├──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│13│18│27│41│ │168 │175 │208 │155 │188 │195 │
├─┼─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│26│42│14│17│ │187 │204 │209 │154 │159 │176 │
├─┼─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│31│15│28│25│ │164 │129 │189 │174 │184 │199 │
├─┼─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│29│24│30│16│ │186 │167 │169 │194 │196 │179 │
└─┴─┴─┴─┘ ├──┼──┼──┼──┼──┼──┤
.a .│206 │176 │156 │207 │197 │157 │
└──┴──┴──┴──┴──┴──┘
.b.
.........图10 反差和数幻方两例
此幻方中各数按上述计算方法也先求差后求和, 算后必得幻和1089。此外, 关于幻方中纵线对称的两数的和均等于363, 因而这个幻方又称为直对幻方。
八.循环小数幻方(施学良作) 图11幻方中各数均为循环小数, 幻和为8.20。
.....................┌──┬──┬──┬──┐
.....................│1063│1459│1583│2069│
┌──┬──┬──┐ ├──┼──┼──┼──┤
│2.13│5.04│1.04│ │1523│2129│1123│1399│
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┼──┤
│1.64│2.73│3.82│ │2099│1493│1429│1153│
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┼──┤
│4.43│0.43│3.34│ │1489│1093│2039│1553│
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┴──┘
图11 循环小数幻方..... 图12 黑洞素数幻方,幻和6174
九.由素数构成的黑洞数幻方(苏茂廷作)憖 图12的幻方都是由素数构成的, 幻 和为6174, 其中每个素数履次进行排序求差的运算, 最后均可得到6174。如1063,排序 得6310: 6310-0136=6174。
十.再植数幻方(高源作). 142857是一个奇特的再植数, 我们从图13中可以看到, b 幻方中各数的个位与百万位数加在一起 (如2571426首数加尾数得571428), 所得数一 定是142857的循环排列, 而这些数又是 a幻方乘以142857得到的。142857与分数1/7有 密切的关系。
..........┌─┬─┬─┐ ┌────┬────┬────┐
..........│19│14│13│ │2714283 │ 571428 │1857141 │
..........├─┼─┼─┤ ├────┼────┼────┤
142857 *..│ 6│12│18│=│ 857142 │2571426 │2571426 │
..........├─┼─┼─┤ ├────┼────┼────┤
..........│11│20│ 5│ │1571427 │ 714285 │ 714285 │
..........└─┴─┴─┘ └────┴────┴────┘
................a ...................b
..........................图13 再植数幻方
十一.水仙花数幻方(苏茂廷作) 图14为三个水仙花数幻方。a的幻和为153,b的 幻和为370,c的幻和为371。153,370,371都是水仙花数,而三个幻方中各数履次求各位数 的立方和, 最终必得所在幻方的幻和。遗憾的是407水仙花数幻方至今无人能编出来。
┌─┬─┬─┬─┐ ┌──┬──┬──┬──┐ ┌──┬──┬──┬──┐
│15│36│42│60│ │118 │ 19 │ 76 │157 │ │ 14 │110 │116 │131 │
├─┼─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┼──┤
│57│45│27│24│ │ 70 │ 73 │169 │ 58 │ │128 │119 │101 │ 23 │
├─┼─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┼──┤
│33│18│63│39│ │175 │ 37 │ 91 │ 67 │ │107 │ 17 │134 │113 │
├─┼─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┼──┤
│48│54│21│30│ │ 7 .│241 │ 34 │ 88 │ │122 │125 │ 20 │104 │
└─┴─┴─┴─┘ └──┴──┴──┴──┘ └──┴──┴──┴──┘
a.幻和=153 ..........b.幻和=370 ..................c.幻和=371
...................图14 水仙花数幻方三例
十二.三阶二元幻方(高源作)憖 图15中有三个三阶幻方,每格中各有两数,故称为
二元幻方。a幻方各行各列及对角线6数之和皆为57,三行三列中所含各数的平方和都等于
703; 两对角线上所含 6数平方和都为683。b幻方中第一行 6数与第三行6数的和、平方
┌──┬──┬──┐ ┌───┬───┬───┐ ┌──┬──┬──┐
│4,17│9,12│2,13│ │11,19 │ 2,28 │ 6,24 │ │2,18│9,11│4,16│
├──┼──┼──┤ ├───┼───┼───┤ ├──┼──┼──┤
│3,10│5,14│7,18│ │ 5,25 │13,17 │ 1,29 │ │7,13│5,15│3,17│
├──┼──┼──┤ ├───┼───┼───┤ ├──┼──┼──┤
│8,15│1,16│6,11│ │14,16 │ 4,26 │ 3,27 │ │6,14│1,19│8,12│
└──┴──┴──┘ └───┴───┴───┘ └──┴──┴──┘
a.幻和57 ......................b.幻和90 .............c.幻和60
....................图15 三阶二元幻方三例
和、立方和、四次方和, 直到五次方和皆相等。c 幻方中一、三行及一、三列所含各数之和、平方和、立方和均相等。b和c两幻方, 各条泛对角线所含6数之和皆等于幻和。
十三.颠倒数幻方(丁宗智作) 图16a中的一、三行, 三、四行, 对应两数为八组互为颠倒数, 构成颠倒数幻方b
┌─┬─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┬─┐┌─┬─┬─┬─┐
│13│14│15│16│ │62│14│15│41││27│ 3│ 4│24│
├─┼─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┤├─┼─┼─┼─┤
│31│41│51│61│ │31│25│24│52││20│12│15│11│
├─┼─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┤├─┼─┼─┼─┤
│23│24│25│26│ │23│51│32│26││ 9│17│14│18│
├─┼─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┤├─┼─┼─┼─┤
│32│42│52│62│ │16│42│61│13││ 2│26│25│ 5│
└─┴─┴─┴─┘ └─┴─┴─┴─┘└─┴─┴─┴─┘
a.采用颠倒数 .......b.幻方
.....图16 颠倒数幻方....................图17 菊花数幻方
十四.菊花数幻方(苏茂廷作) 。图17是菊花数幻方, 其幻和是58,幻方中各数履次求各位数的平方和,最终必定能得到幻和58。
十五.双位定数幻方(丁宗智作)
仅由2、3、4三数组成9个双位数,可构成三 阶幻方(图18a); 仅由1、6、8、9四数组成16个双位数,可构成幻方b;仅由3、4、5、6 7五数,组成25个双位数,可构成幻方c。
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┬─┬─┐
│32│44│23│ │96│11│89│68│ │64│76│33│45│57│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┼─┤
│24│33│42│ │88│69│91│16│ │75│37│44│56│63│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┼─┤
│43│22│34│ │61│86│18│99│ │36│43│55│67│74│
└─┴─┴─┘ ├─┼─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┼─┼─┤
a..............│19│98│66│81│ │47│54│66│73│35│
...............└─┴─┴─┴─┘ ├─┼─┼─┼─┼─┤
......................b. .........│53│65│77│34│46│
..................................└─┴─┴─┴─┴─┘
.......................图18 双位定数幻方.. c.
十六.幻方齐次幂等式(苏茂廷、高源作)....图19中各式是由幻方构成的等式,如A 式左边两幻方对应格两数的平方和必等于右边对应数的平方, 并且幻方的幻和也对应地满足这种等式。其它各式道理相同。
┌─┬─┬─┐2┌──┬──┬──┐2┌──┬──┬──┐2
│39│93│12│ │ 52 │124.│16 .│ │ 65 │155 │ 20 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│21│48│75│+│ 28 │ 64 │100 │=│ 35 │ 80 │125 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│84│ 3│57│ │114 │ 4,,│ 76 │ │140 │ 5 ,│ 95 │
└─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ A式
┌─┬─┬─┐3┌──┬──┬──┐3┌──┬──┬──┐3┌──┬──┬──┐3
│39│93│12│ │ 52 │124 │ 16 │ │ 65 │155 │ 20 │ │ 78 │186 │ 24 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│21│48│75│+│ 12 │ 20 │100 │+│ 35 │ 80 │125 │=│ 42 │ 96 │150 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│84│ 3│57│ │114 │ 4 ,│ 76 │ │140 │ 5 ,│ 95 │ │168 │ 6 ,│114 │
└─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘B式
┌─┬─┬─┐4┌─┬─┬─┐4┌─┬─┬─┐4
│32│ 4│24│ │48│ 6│36│ │64│ 8│48│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
│12│20│28│+│18│30│42│+│24│40│56│ +
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
│16│36│ 8│ │24│54│12│ │32│72│16│
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┐4┌──┬──┬──┐4┌──┬──┬──┐4
│72│ 9│54│ │112 │ 14 │ 84 │ │120 │ 15 │ 90 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│27│45│63│+│ 42 │ 70 │ 98 │=│ 45 │ 75 │105 │
├─┼─┼─┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│36│81│18│ │ 56 │126 │ 28 │ │ 60 │135 │ 30 │
└─┴─┴─┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ C式
┌─┬─┬─┐5┌─┬─┬─┐5┌─┬─┬─┐5┌─┬─┬─┐5
│32│ 4│24│ │40│ 5│30│ │48│ 6│36│ │56│ 7│42│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
│12│20│28│+│15│25│35│+│18│30│42│+│21│35│49│+
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
│16│36│ 8│ │20│45│10│ │24│54│12│ │28│63│14│
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┐5┌─┬─┬─┐5┌─┬──┬─┐5
│72│ 9│54│ │88│11│66│ │96│ 12 │72│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼──┼─┤
│27│45│63│+│33│55│77│=│36│ 60 │84│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼──┼─┤
│36│81│18│ │44│99│22│ │48│108 │24│
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴──┴─┘ D式
................图19 齐次幂等式
....图20中的幻方等式十分奇妙, 左边6个幻方对应格的6数与右边对应格6数,其和、平方和、立方和、四次方和、五次方和均相等。
┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K
│ 76 │156 │ 68 │ │380 │780 │340 │ │399 │819 │357 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│ 92 │100 │108 │+│460 │500 │540 │+│483 │525 │567 │＋
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│132 │ 44 │124 │ │660 │220 │620 │ │693 │231 │651 │
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘
┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K
│ 494│1014│ 442│ │190 │390 │170 │ │171 │351 │153 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│ 598│ 650│ 702│+│230 │250 │270 │+│207 │225 │243 │ ＝
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│ 858│ 286│ 806│ │330 │110 │310 │ │297 │ 99 │279 │
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘
┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K
│ 95 │195 │ 85 │ │304 │624 │272 │ │456 │936 │408 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│115 │125 │135 │+│368 │400 │432 │+│552 │600 │648 │＋
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│165 │ 55 │155 │ │528 │176 │496 │ │792 │264 │744 │
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘
┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K┌──┬──┬──┐K
│475 │975 │425 │ │266 │546 │238 │ │114 │234 │102 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│575 │625 │675 │+│322 │350 │378 │+│138 │150 │162 │
├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤ ├──┼──┼──┤
│825 │275 │775 │ │462 │154 │434 │ │198 │ 66 │186 │
└──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘
..................图20 齐次幂等式 (K=1,2,3,4,5)