遨 游 幻 方 世 界

记中国的幻方迷们

作者 高治源 排版：张凤琴

     相传远古的伏羲时代，有一神奇的龙马出现在孟津河边，身上背负着一种和谐布局的花点图案，正巧代表1�10这十个数字，人们称之为河图（图1）。在大禹治水的年代，又有神龟背负着另一张神秘的图案浮现于黄河支流洛河之中，人们将图案中的花点记录下来，竟惊奇地发现9 种花点数正好是1--�9这9个数，各数位置的排列也相当奇妙，后来人们就称这个图案为洛书（图2）。随着历史的推演，河图洛书竟然成了中华文化宝殿中两颗璀璨夺目的明珠，它们不仅产生了中国的哲学易理思想，而且，直接推动了组合数学的一个分支 幻方的发展，并远传世界各地，吸引了众多学者的研究热情。

    幻方就起源于我国的河图洛书，若将两图中的花点用数字表示，我们不难发现，河图用等差关系表示一个和谐布局的数字图，而洛书则本身就是一个三阶幻方。若给幻方作一个一般性的描述，即就是将n²个不同的数填入n阶方阵的n²个方格中，若n行n列及两条主对角线上诸数之和都等于一常数Hn，则称此数字图为n阶幻方，Hn称为该n阶幻方的幻和。图3的三阶幻方的幻和H3 =15。

图三 

  到现在，河图洛书仍然是千古之谜，让众多学者百思而不得其解。而由此产生的幻方也自然披着一层神秘的面纱，引起华夏子孙世袭探索的强烈欲望。杨辉是第一个把“洛书”作为一个纯数学问题加以研究的，公元1275年，他在《续古摘奇算法》的上卷中记录了这方面的成就，给出了三至十阶幻方及变式，并提出三阶幻方的构造方法。杨辉之后，对幻方的研究相继不断。宋代丁易东，明朝王文素、程大位 ，清朝保其寿、方中通、涨潮，以及我国著名数学史家李俨，还有许多近代学者们，都为幻方的发展作出了贡献。在上海博物馆有一块在浦东陆家咀发掘出来的明代宝玉，这块宝玉的一面竟刻有一个四阶幻方，而在陕西历史博物馆中，陈列着一块西安元代安西王府旧址出土的铁板，这块铁板上也刻制着一个六阶幻方。从这两件幻方文物可看出，我国古代确实对幻方有精深的研究，并代代相传，引此为荣。

      我国的幻方后来传 到了国外，幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们。著名的数学家欧拉和汉弥尔登，大发明家富兰克林都对幻方有过深入的探讨。在16、17世纪，西方构造幻方非常盛行，德国的阿古利巴创作了3�9阶幻方，并用太阳糸的七星来命名，法国人卢贝尔出版了欧洲最早的论及幻方的著作，其后法国人伊尔用拉丁方研究幻方取得重大突破。那时，人们把富有特色的幻方刻在银版或玉佩上作为护身符带在身上，德国画家杜勒甚至把一个标有年份的四阶幻方刻制在版画当中，广为流传。当我国的幻方传到了曰本、印度及阿拉伯等国家后，也引起了他们的极大兴趣，并提出“魔立方体”、“魔术矩形”等新概念。在印度瓜星欧城的一座堡垒的大门上，刻制着一个四阶幻方，是印度拿西克所造，后传到了英国。在一些游人容易看到的碑文上，大厅的地板上也出现幻方佳品供人观赏。

    在20世纪，幻方的研究发生了巨大的变化，在构造的难度上和奥妙的深度上都已大大超过以往。1901年法国数学家里利发明了“平方幻方”，宣告了幻方研究的新开端，因为平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和、平方和均相等，表现出更高级的美妙，立即引起幻方迷们的重视。在平方幻方研究的基础上，美国数学家霍纳造出了“双重幻方”（各线诸数和与积均相等），享特编出了一个“128阶三次幻方”，随后加拿大多伦多大学的考克斯特教授又宣布构成一个“64阶三次幻方”。只是这两个领先世界的幻方因阶数太高并未公之于众。印度有人构造的八阶幻方，以象棋飞马跳步行走，历经八步上的8数之和皆等于幻和，让人们震惊了好久。日本寺村周太朗造出了一个十阶素数幻方，也让数学界大大地吃了一惊。曰本阿部所构的十三阶幻方，竟然可分割出三至十阶幻方，更让人们大开眼界。八十年代，美国少年孙达的105阶幻方成为世界纪录，而其后日本的山内俊平的200阶幻方又成新记录。世界各国研究幻方的热潮，一浪高过一浪。各种新奇独特的幻方不断发现逐渐形成一个你追我赶的竞争局面。成了数学界的一大盛事。

   金牌得主，幻方故乡异军突起！

      本世纪八十年代前，中国的幻方研究在国际上已失去了优势，虽然在1922年，屠恂立、汪以麟编成《幻方》一书，但书中大量引用外国人成果，作者本身对幻方研究却没有新的进展。阶数最高的幻方、平方幻方、双重幻方及三次幻方，是幻方高原上矗立起来的座座高塔，而高塔上刻写的光荣的发现者的名字，全是外国人。难道华夏子孙沉浸在河图洛书的神话传说中，就不会有新的“世界大发现”吗？

     七十年代初，广西宾阳中学的一位教师舒文中偶然进了幻方的大门，一个人独自遨游起来。经过多年的探索，他发现了各式各种幻方的构造方法，并逐步形成平面幻方、立体幻方、素数幻方、平方幻方、双重幻方的构造理论。他的书稿在国内开始流传起来，并引起许多人幻方爱好者的研究兴趣。有趣的是，他的成果立即引起美国数学界的重视，1981年被美国数学会接纳为会员，后日本熊本大学邀他作了幻方演讲。但他不无遗憾地说，他的书在国内延误20年后，才于1991年10月出版。而现在他已成八十多岁的老人，与读者书信往来也成困难。

     谈祥柏，中国的一位了不起的趣味数学专家，他在1977年出版的《纵横图漫谈》以及许多科普文章中，为幻方普及工作做出了贡献。他能把幻方描述的美妙无比，不知使多少青少年对幻方迷恋起来。1985年，受舒文中影响的广西南宁二中的唐侠老师，出版《幻方与数阵趣谈》，发行全国，影响甚广。1987年，台湾黎凯旋出版《易数浅说》，有不少幻方内容，也影响了不少读者对幻方的兴趣，他并帮助大陆幻方研究者在《中华易学》杂志上发表不少幻方文章，如南京丁宗智的幻方成果就在《中华易学》杂志上进行了连载。北京联合大学的李立，撰写了许多理论性极强的幻方论文，分别在《内蒙古大学学报》、《数学进展》上刊登。在这期间。各种数学杂志上不断出现有关幻方的论文。八十年代，中国幻方研究的队伍就这样逐渐状大起来。

    在一本《世界之最》的书中，陈述了最早的幻方在华夏神州产生，可是最大的幻方 105阶却是美国一个少年孙达所完成。无需多说，这让很多华夏子孙感到愧疚。于是，浙江海盐县的一位初中生，把整个署假都用在里面，苦心编出一个 107阶的幻方。陕西户县的五名小学生编成一个120阶幻方，也是与105阶幻方纪录的一次抗争。湖比襄樊市的一位姜德骏先生，他的幻方高达 512阶，原稿附图总重量达几十公斤。1990年8月21日，在合肥国际组合数学会议上，无锡朱福成将自已构造的153阶完美幻方贴在会议室的墙壁上，与会代表面对这浩大的数字海洋，竟蕴藏着美妙和谐的特性，个个赞不绝口。同年8月22日，朱老师又构造了一个“1256阶完美幻方”创造一个让人们感到高不可攀的记录。其实，他的“89阶完美立体幻方”、“29阶四维完美幻方”都可称得上是世界之最。

    双重幻方，因各线积和都相等，表现出一种双重的美妙，引起众多学者研究的兴趣。在《世界之最》书中所收录的一个八阶双重幻方，被称为“最奥妙的幻方”、它的幻和为840，幻积则达两千万亿之多。不过，对于当时来说，它是以幻和、幻积均最小称雄世界的。当河南封丘县梁培基看到这一记载后，被双重幻方这种美妙特性深深地吸引住了，经过艰苦努力，边自学边探索，终于弄清了双重幻方编造的规律。于是他由于构造出幻和幻积均更小的八阶双重幻方，打破了《世界之最》。接着16阶、32阶、64阶、128阶双重幻方也陆续问世。为了验算双重幻方的正确性，梁培基竟用十几个算盘摆成“一字长蛇阵”进行运算，此举便成为“中国珠算十大伟迹之一”，可以说，他所创造的奇迹是用算盘珠打出来的。他的事迹有十多家报刊登载过，人们赞扬他为“农民数学家”。后来他被县领导录用为科协干部，并专门为他购买一台计算机，让他深入研究幻方。在幻方界，可以说梁培基是一位传奇的人物。我们还需提一下西安孙友，因为积和最小的九阶双重幻方是他构造的，而且他构造了一个144阶双重幻方，并发表在《纺织基础科学学报》上，创造一个更高的世界纪录。1991年9月11日，四川刘缉熙构造成一个八阶双重幻方，其和为600，积为67463283888000，成为当今世界之最。

   对于三次幻方而言，则应该阶数越低越好，在构造的难度来看，这是另一场国际性的超级竟赛。中国幻方迷们，不相信外国人的三次幻方高不可攀的描述。在1993年里，福建苏茂廷、贵州施学良、无锡钱剑平各自构造出不同的32阶三次幻方。后来上海俞 润汝又构造出一个具有完美性质的32阶三次全息幻方。这些成果，是全世界幻方研究中的最重要的里程碑，它是幻方宫殿中最耀眼的明珠。不过，中国幻方迷们，并没有就此止步，他们在考虑是否存在16阶三次幻方的问题？延安高源构造成一个16阶行三次幻方，即各行数字的三次方和均相等的平方幻方，他深知获得这一成果的艰巨性，便在1997年设立“1997元的幻方奖”，以此鼓励更多的人向 16阶三次幻方进军。安微芜湖王忠汉老师经过努力获得了更好的结果，他构造的16阶平方幻方，其16行14列所含的数的立方和相等，仅有两行及两条对角线不满足条件，可以说万里长征只差一步。可这最后一步，也许更艰巨，是万丈悬崖，需要后来者重新开劈一条新路攀上去

    九十年代，中国的幻方研究在国际上几乎样样处于领先地位。中国的幻方迷们已辛勤建立起一个丰富多彩、美妙无比的幻方世界，他们将幻方渗透在各个数学领域之中：复数幻方、小数幻方、素数幻方、根式幻方、方程幻方等。那些本来抽象的数学，一经与幻方结缘，一下子就美妙起来。趣味数学本身就十分有趣，可幻方专家们，竟构造出与趣味数学有关的幻方，如菊花数幻方、水仙花数幻方、黑洞数幻方、轮环整除数幻方、金蝉脱壳幻方、归回幻方、等幂和数幻方等等，这些幻方融趣味数学和幻方为一体，显其异彩，美妙程度令人拍案称奇，此外， 这种幻方往往是首次发现，前所未有，均可称为幻方之最。在各种报章杂志上，甚至国家级电视台上，时常登载或播放幻方迷们的作品。每到某个重大纪念日前，幻方迷们就将所作的纪念幻方向节日献礼。如毛主席百年诞辰、香港回归日、十五大召开纪念日等。这些幻方以数字的巧妙安排，赢得了大众的喜爱。

    幻方世界的大门似乎由一串非常复杂、精密、变化无穷的连环锁扣着的，那么开锁的密码藏在那里呢？幻方迷们在不断地寻找着这种密码，他们建立起各种构造原理，提出许多组合思想。北京廖福成提出了矩阵理论，丁宝训得到一种象棋布局原理，江苏沈锡南提出了差值互补原理，延安高源应用了易理思想研究幻方，西安孙友提出函数原理，丁宗智建立构造模型，徐桂芳推出剩余数构造理论，黄均迪推出进位制思想，吴硕辛研究出αA理论。这种种原理都是通向幻方宫殿的大门，通过它们可以窥探到幻方世界部分精彩的景象。不过许多人都认识到，河图洛书可作为一个思想体系，可衍生出种种构造幻方的组合原理，通过深层次的展开与生化，任何阶幻方都可以编造出来。幻方起源于河图洛书，而开锁的密码似乎就藏在河图洛书所表现出的数字美之中。用易理思想研究幻方，反过来用幻方内容发展易理思想，幻方迷们认为是一个重要的研究课题，而且这一课题只有中国幻方迷们最有条件进行研究。

     幻方的丰富多彩的变幻及巧妙和谐的结构体系，能够引起人们强烈的好奇心，这正是幻方研究者们对幻方入迷的主要原因。其实，研究幻方就要与繁锁的数字打交道，他们不仅能享受到发现的喜悦，获得幻方的均衡对称美的欣赏，而且也要经历意志的磨烈，体验着跋涉的艰辛。幻方迷们的成果是经过日夜操劳后获得的，甚至在半夜三更有了灵感，他们就会立即起来，一直研究到天亮。他们不仅牺牲了许多休息日，而且为此损坏了宝贵的身体的也大有人在。西安孙友在编制幻方当中进了医院，下了病危通知，他从死神中挣扎过来以后，虽然家里有专人照看不让他再研究幻方，但他仍然向三次幻方进军了。南京丁宗智，在幻方构造的思绪中，竟受汽车一撞，重病期间将《幻方秘密》新作寄给全国各地的朋友们，希望有人继承他的事业。北京丁宝训老人近90岁，自已出资5000元，出版《幻方专辑》，专辑印了出来，他却累倒了。但他坚持把《幻方专辑》寄给全国各地的幻方朋友，及许多中小学校和青少年活动宫，他的专辑在97年的国际组合数学会上进行了交流，受到国内外学者一致好评。幻方研究，论文往往很长，阶数较大的幻方，面积也就很大，因而幻方文章的发表是十分困难的，但是幻方迷们却用自已的资金印刷专辑或幻方报，与同行交流。安徽王忠汉已印了好几期幻方报了，每期印五千份，花尽了自已多年的积蓄，使许多小学生成了幻方迷，其中杨弋、苏燕妮两位小朋友，因构造出独特的4M+2阶完美幻方，被评为全国《未来21世纪之星》。看来，王忠汉的苦心，换来了新一代幻方迷的兴起，为祖国幻方研究做出了巨大贡献。

   多少年来，中国幻方迷们通过书信往来，相互交流，团结协作，获得了丰盛的成果。数百名幻方爱好者在国内形成了一个联糸网络，组成了一个浩大的研究队伍，不花国家一分钱，却为祖国的科学事业奋斗着。著名的数学家徐利治教授 ，也热切关心幻方的研究工作，并希望抓紧时间，开发幻方的应用。在广大幻方爱好者的共同努力下，幻方被应用在人功智能、图论、对策论、实验设计、工艺 美术、电 子回路原理、位置解析学等方面 。我们可以这样说，幻方在古老的过去 ，对人类的文明做出了重大的贡献，而在信息时代的今天，它也必将有一个广阔的应用前景 。

   〈作者 简介〉高治源 ：副教授 ，男，汉族，1960年 10月出生，陕西米脂人。毕业于延安大学数学系。现任延安教育学院数学系教师，延安数学会常务理事，中国幻方研究者协会主席。被评为国家“三五人才”。主要业绩：在 数学教育学、数学美学、趣味数学、组合数学方面较有研究。已出版专著《奇妙的幻方》（陕师大出版社，1995年），《九宫图探秘》（2000年陕西教育出版社），主编的《幻方专辑》在国内外颇有影响。讲义《数学美学》、《数学教学系统论》、《数学教学艺术》、《高效学习法》已用在教学之中。他建立起国内唯一的幻方资料交流中心，并在1997年设奖1997 元，用来奖励幻方研究领先者。他的专项发明“九宫妙算棋”成为开发少儿 智力的趣味学具。《数学世界的美》及《数字世界真奇妙》是待出版的优秀书稿。已撰写数十篇数学研究论文，以深入浅出，文笔优美，内容丰富有趣，引起读者的极大兴趣，如《回还数组》、《奇异数组探源》、《轮环整除数》、《自补数》、《菊花数》、《 限位叠加的奥秘〉等。

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中国陕西延安教育学院数学系

高 治 源