3 推理编制n≥3奇数幻方

从实践中编出n = 5，7，9……19阶幻方，这是为深入研究幻方数的分布规律，打下坚实基础。经分析：这些幻方中隐藏大量等差数列，因此只要抓住数列首项位置，数列公差，幻方中数的分布即可用方程表示出来，然后进一步论证其方法普遍性，正确性。

根据已编出的同心幻方具有对称性，将方阵以二条正对角线为界线，把方阵划分为上下，左右四个区，分别建立上区，左区幻方数的分布方程。

1,3,1 建立方阵上部对角线，上区上的数的分布方程：

设A（I，J）为方阵位置上的数,当(n－1)/2为偶数时：

A0（I，J）=（3－n）/2 + (n+1)I ……( 1．1 )

其中：I = 1，2，3……（n－1）/2， J = I

A[ (n+1)/2 ，(n+1)/2 ] = (n2 + 1)/2 ……( 1．2 )

A1(I，J) =（2n2－3n+1）/4+M ……( 1．3)

其中：I = 1，2，3……（n－1）/2，J = (n+1)/2

M = INT[(I/2) ×(－1)I+0.5]

INT为取整函数，例INT（1.5）=1

A1(I，J)=（n+1）I－（n－3）/2－i1 ……( 1．4 )

其中：I = 1，2，3……（n－3）/2

Q1 = INT[（I+1）/2+0.5]

i1 = 1，2，3……[（n+3）/4－Q1]

J = I+i1

A1(I，J) = (3－n)/2 + (n +1)I + i2 ……（1．5） 其中：I = 1，2，3……（n－5）/2

Q2 = INT [I/2 + 0.5]

i2 = 1，2，3……[（n－1）/4－Q2]

J = (n +3)/4 + I +i2－Q1

A1(I，J) = n2－(n+1)I + i3 ……(1．6)

其中：I = 1，2，3……（n－5）/2

Q3 = INT [I/2 + 0.5]

i3 = 1，2，3……（n－1）/4－Q3

J = (n +1)/2 + i3

A1(I，J) = （n2 + n）－(n +1)I－i4 ……(1．7)

其中：I = 1，2，3……(n－3)/2

Q4 = INT [(I +1)/2 + 0.5]

i4 = 1，2，3……[（n + 3）/4－Q4]

J = n + 1－I－i4

方阵下区各数分布辅助方程

A0[（n + 1－I），(n + 1－j)] = n2 + 1－A0(I，J)

A1[(n + 1－I)，J] = n2 + 1－A1(I，J)

1, 3, 2 建立方阵下右对角线，左区上的数分布方程

A0(I，J) = 1－n + (n +1)J ……(1．8)

其中：J = 1，2，3……(n－1)/2，I = n + 1－J

A2(I，J) = (n2 + 1)/2 + J ……(1．9)

其中：J = 1，2，3……(n－3)/2，I =（n－1）/2

A2(I，J) =（n2 +3n）/2 ……(1．10)

其中：J = (n－1)/2，I = (n +1)/2

A2(I，J) = (n2 +3n)/2－J ……(1．11)

其中：J = 1，2，3……(n－3)/2，I =（n + 1）/2

A2(I，J) = n2－(n +1)(J－1) ……(1．12)

其中：J = 1，2，3……（n－3）/2，I = n－J

A2(I，J) = (2n2－n + 3)/4－2(n +1)j1 + M ……(1．13)

其中：J = 1，2，3……（n－7）/2

Q1 = INT [(J + 1)/2×(－1)J + 0.5]

M = INT [J/2×(－1)J + 0.5]

j1 = 1，2，3……[(n－1)/4－Q5] ,I = (n－1)/2－2j1

A2(I，J) = (2n2 + n + 5)/4－2(n + 1)j2 + M ……(1．14)

其中：J = 1，2，3……（n－5）/2

Q2 = INT [J/2 + 0.5]

M = INT [J/2 ×(－1)J + 0.5]

j2 = 1，2，3……[(n－1)/4－Q2], I = (n +1)/2－2j2

A2(I，J) = (2n2 + 3n + 3)/4 + 2(n +1)j3－M ……(1．15)

其中：J = 1，2，3……(n－5)/2

　

Q3 = INT [J/2 + 0.5]

M = INT [J/2×(－1)J + 0.5]

j3 = 1，2，3……(n－1)/4－Q3 , I = (n－1)/2 + 2j3

A2(I，J) = (2n2 + 5n + 5)/4 + 2(n+ 1)j4－M ……(1．16)

其中：J = 1，2，3……（n－7）/2

Q4 = INT [(J +1)/2 + 0.5]

M = INT [J/2×(－1)J + 0.5] , j4 = 1，2，3……(n－1)/4－Q4

方阵右半部各数分布辅助方程

A0[（n + 1－I），(n + 1－J)] = n2 +1－A0(I，J)

A2[I，(n + 1－J)] = n2 + 1－A2(I，J)

经证明（略）由以上方程所求出的数，是由1，2，3……n2组成，且方阵中任一行，任一列及正对角线上各数和等于幻方常数Sn = n×(n2 + 1)/2。因此本文所建立的幻方方程适用于n≥3的所有奇数n阶幻方：现已计算出n = 153，n = 499奇数同心幻方。

附：(n－1)/2为奇数时幻方方程与(n－1)/2为偶数时略有差别。（略）