2．2 双偶数完美幻方特点证明

2．2．1 双偶数完美幻方，

其方阵中所有左右斜对角线上诸数和为常数，S_n = n× (n² +1)/2

2．2．1．1 引理1：由双偶数完美幻方方程构成的方阵中，存在二个数同时为左右斜对角线上的数。

证明如下：

设第二象限有一个数A(I，J)，在其左斜对角线上有一个数为A(I +L，J +L)，

在其右斜对角线上有一个数为A(I + L’，J +n－L’)。

若：A(I +L’，J +n－L’) = A(I +L，J +L)，则有I +L’ = I +L， J + n－L’ = J + L。

解得：L = L’ =n/2，即A(I +L’，J + n－L’) =A(I + L，J + L) = A(I +n/2，J + n/2)。

由此得出A(I +n/2，J +n/2)即是A(I，J)左斜对角线上一个数，又是A(I，J)右斜对角线的一个数。

2．2．1．2 引理2：在双偶数方阵中，在第二象限有一个A₁(I，J)，与方阵中另一数 A₁(n/2 +1－I，n/2 +1－J)之和等于n²/2 +2时，则A₁(I，J)与其左右斜对角线共用另一数 A₁(I +n/2，J+n/2)之和等于(n² +1)。

即：若A₁(I，J) + A₁(n/2 +1－I，n/2 + 1－J) = n²/2 +2时

则：A₁(I，J) + A₁(I +n/2，J+n/2) = n² +1

证明如下：

A₁(I +n/2，J+n/2) = A₁[n +1－(n/2 +1－I)，n+1－(n/2 +1－J)]

根据关系方程(2．9)

A₁[n +1－(n/2 +1－I)，n+1－(n/2 +1－J)] = n²/2－1 + A₁(n/2+1－I，n/2+1－J)

即A₁(I +n/2，J+n/2) = n²/2－1+A₁(n/2+1－I，n/2+1－J) ……(2．11)

已知：A₁(I，J)+A₁(n/2+1－I，n/2+1－J) = n²/2 +2 ……(2．12)

将(2．11)，(2．12)联立解得：A₁(I，J) + A₁(n/2 +I，n/2 + J) = n² +1

同理可证：当A₂(I，J) + A₂(n/2 +1－I，n/2 + 1－J) = 3n²/2时

则有：A₂(I，J) + A₂(n/2 + I，n/2 + J) = n² + 1

2．2．1．3 双偶数完美幻方，任一左右斜对角线上共用一对数之和等于n² +1，其诸数和：C= n(n² +1) /2。

设：A₁(I，J)为方程（2 ，1）一个数

A₁(I，J) = 2 + n×(I－1)/4 + (J－1) ……(2．13)
设A₁(n/2 + 1－I，n/2 + 1－J)为方程(2．2)一个数

A₁(n/2 + 1－I，n/2 + 1－J) = 3×n²/8 +2 +(n/4)×[(n/2+1－I)－2]+(n/2 +1－J)－2……(2．14)

将方程(2．13)+(2．14)得：

A₁(I，J) +A₁(n/2 +1－I，n/2 +1－J) = n²/2 +2

根据引理2则有：A₁(I，J)+A₁(I+n/2，J+n/2) = n²+1

同理方程(2．3)与(2．4)可得到 A₂(I，J)+A₂(I+n/2，J+n/2) = n²/2+1

由此可得到双偶数完美幻方，在第二象限任何一个数A₁(I，J)[或A₂(I，J)]其左右斜角线上共用一对数A₁(I+n/2，J+n/2)[或A₂(I+n/2，J+n/2)]之和等于n²+1。双偶数完美幻方，任一斜对角线上的数为n个，其上有n/2对，其和等于n²+1。所以斜对角线上诸数 C = n ×(n²+1)/2。

2，2，2 双偶数完美幻方中，在任意位置取四个相邻数组成正方形，其四 个数之和C_s=2×(n² +1)。

第二象限任取相邻四个数组成的正方形，其四个数分别为：A₁(I，J)， A₁(I +1，J +1)， A₂(I，J +1)， A₂(I +1，J)；并代入方程(2．1)，(2．2)，(2．3)，(2．4)。得：

A₁(I，J) + A₁(I +1，J +1) + A₂(I，J +1) + A₂(I +1，J) = 2 + n×(I－1)/4 +(J－1) + 3×n²/8+ 2 +n× [(I +1)－2]/4 + [(J +1)－2] +7×n²/8－1－n(I－1)/4－[(J +1)－2] +3×n²/4－1 ?/FONT>n×[(I +1) －2]/4－(J－1) = 2×(n² +1)