网页三 开拓智能的奇方 （续）
三， 构造完美幻方的一统方法
在以往完美幻方构成中，常采用拉丁方理论，但只限于n为素数时，可直接构成n阶完美幻方。对于n为合数时，则以编制二个广义全等和拉丁方正交数阵（或称全等和幻基方）构成完美幻方，但至今未找到编制幻基方的简便方法。在采用马步法中，只限于n为奇数时，且n不含3的因子时，可以编制出完美幻方。目前尚无统一的方法编制n>3，n为非单偶数的n阶完美幻方。
经研究表明，当n为非单偶数，n>3的任何数都可以由长方基砖组合成n阶广义全等和拉丁方。且存在正交方阵，进而构成n阶完美幻方（纯幻方）及n阶完美幻方（兼对称）。
定义一：由自然数1、2、3……（P1×P2），（P1≤P2）排成P1行P2列的长方数阵，若任一行各数和相等，其和S=P2×（P1×P2+1）/2，则称该长方数阵为长方基砖，记为G（I，J）。
例：n=3×5，n=1,2,3……(3×5)个数组成三行、五列的长方数阵，且每行各数和： S= P2×（P1×P2+1）/2=40，则该数阵构成长方基砖。见图11。
长方基砖不是唯一的。下面给出长方基砖最简易表达式，同时可以直接编写。
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图 11
3.1 长方基砖构成
3.1.1 n>3,n为奇数时，长方基砖表达式。
（1） n=1×p1型，p1为素数，长方基砖为一行，1、2、3…p1 。
（2） n=p12型。p1为素数，长方基砖为p1行，p1列。
长方基砖表达式：
G1（I，J）=I+(p1+1)
×(J-1) .... (3.1)其中：I=1、2、3……p1， J=1、2、3……（p1+1-I）
G2（I，J）=I+(p1+1)
×(J-2)+1 .... (3.2)其中：I=2、3……p1， J=（p1-I）+2，（p1-I）+3，……p1，J≤p1
任一行各数和S=p1（p12+1）/2的证明如下：
×p的长方基砖可直接由二个自然数阵黑体数字右斜线构成：见图12n=p
将黑体数字行，作为长方基砖的列。
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长方基砖：
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图 12
(3) n = p1
×P2型，为p1行P2列的长方基砖。p1为n中最小素数， P2>p1,P2 为任一奇数。n =p1
×P2 = p12+ p1×(P2-p1)分解p12长方基砖和p1×(P2-p1)长方基砖组成P1
×（P2-p1）表达式如下：G3（I，J）=p12+（P2-p1）
×(I-1)/2+(J-p1) .....(3.3)其中：I=1，2，3....p1,J=(p1+1),(p1+2)...(p1+P2)/2
G4(I,J)=p1
×P2-(P2-p1)×(I-1)/2-(P2-J) ....(3.4)其中：I=1，2，3...p1,J=(p1+P2)/2+1,(p1+P2)/2+2,....p2
例 n=5
×13=52+5×(13-5)解 G1（I，J），G2（I，J），G3（I，J），G4（I，J）得五行十三列长方基砖，见图13。
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G2(I,J) G3(I,J) G4(I,J)
图13
3，1，2 n>3,n为双偶数长方基砖表达式：
n>3,n=2
×(2×P0)型，为2行2×P0列长方基砖。P0为不含3因子的正整数。令p1=2,P2=2
×P0 则n=p1×P2长方基砖表达式如下：
G5（I，J）=P2（I-1）/2+J ....(3.5)
其中：I=1，2 J=1，2，3....P2/2
G6(I,J)=p1
×P2-P2×(I+1)/2+J ....(3.6)其中：I=1，2，J=P2/2+1，P2/2+2，....P2
例 n=16=2
×(2×4)为二行八列长方基砖解 G5（I，J），G6（I，J）得：
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G5（I，J） G6（I，J）
图14
3，1，2单偶数长方基砖不存在的证明：
由二行，P列构成的长方数阵，若每行各数和相等，则S=（2
×P+1）×P/2。因（2×P+1）,P都是奇数，其乘积仍然是奇数，不能被2整除。而每行各数和均为整数。所以单偶数不存在长方基砖。