网页四 开拓智能的奇方 （续）

四 构成高次幂幻方的简捷方法

    平方幻方最早出现于1892年，Frolow编出八阶和九阶平方幻方。1901年法国人里利也编出一个八阶 平方幻方。平方幻方的出现引起幻方研究者的兴趣和重视，并向高次幂幻方推进。随后美国亨特先生编出128阶立方幻方。加拿大多伦多大学考克斯特又编出64阶立方幻方。直止最近1994年我国幻方专家苏挺茂，戴宏图在”科学画报”上发表32阶立方幻方。高次幂幻方的研究已成为不可阻挡一股潮流。为了探索高次幂幻方构成，现推出一个简捷的方法。

4．1 拉丁方与高次幂幻方

4，1，1 定义：由连续自然数1，2，3……N(N=n²)构成的n阶数字方阵，若任一行,任一列及 正对角线上的各数一次方，二次方，三次方……k次方的和都分别相等，则该方阵称为k次幂幻方。

A(I,J)为由n个0,1,2……(n-1)组成的拉丁方。

B(I,J)为由n个1,2,3……n组成的拉丁方。

=(n×(n×0+n×1+n×2+….(n-1)×n)+n×(1+2+3….n))/n

=n×(n²+1)/2

Sn²=∑∑(n×A(I,J)+B(I,J))²/n=∑∑((n×A(I,J))²+(B(I,J))²)/n

+∑∑2×A(I,J)×B(I,J) 记Sn²(B)=∑∑2×A(I,J)×B(I,J)为平方幻和辅助项.

记Sn²(g)=Sn²(B)/(a×n) 为简化幻和辅助项。

同理：Sn³=∑∑(n×A(I,J)+B(I,J))³/n=∑∑(n×A(I,J))³/n+∑∑(B(I,J))³/n

+3×∑∑(n×A(I,J))²×B(I,J)/n+3×n∑∑A(I,J)×(B(I,J))²/n

记Sn³(B)=3×∑∑(n×A(I,J))²×B(I,J)/n+3×n×∑∑A(I,J)×(B(I,J))²/n为立方幻方辅助项。 Sn³(g)=Sn³(B)/(a×n)=∑∑(A(I,J))²×B(I,J)+∑∑A(I,J)×(B(I,J))²/n

Sn³(g) 为简化辅助项 a×n为公因子.此处 a=3

Sn²(g)=Sn²(B)/(2×n)=∑∑A(I,J)×B(I,J)/n

∑∑A(I,J)×B(I,J)=0×1+0×2+0×3+……..0×n

+1×1+1×2+1×3+……….1×n

+2×1+2×2+2×3+……….2×n

………..

+(n-1)×1+(n-1)×2+(n-1)×3+……(n-1)×n

=(1+2+3+….(n-1))×(1+2+3+……n)

=n²×(n-1)×(n+1)/4

Sn²(g)=Sn²(B)/(2×n)=n×(n-1)×(n+1)/4

Sn^k(g)=(1/a×n)×∑C_k^m×n^k-m×(1^k-m+2^k-m+3^k-m+……(n-1)^k-m)×

(1^m+2^m+3^m+……..n^m)

a×n为∑C_k^m中的公因子。

当k=2, Sn²(g)=n×(n-1)×(n+1)/4

k=3, Sn³(g)=n×(n-1)×(2×n³+3×n²+2×n+1)/12

k=4, Sn⁴(g)=1/2×(A×(A/6-n²)+2×(n³+n²+n-1)x

(1³+2³+3³+…….n³)-2×(n+1)×n⁵)

A=2×n³+3×n²+n

A(I,J) B(I,J)

　

C 方阵 (n×A(I,J))²+(B(I,J))²

D方阵任一列，任一行及二条对角线上各数和等于126。

而n=8,Sn²(g)=n×(n-1)×(n+1)/4=126,则由正交拉丁方A(I,J),B(I,J)构成的幻方为平方幻方。

八阶平方幻方H(I,J)=n×A(I,J)+B(I,J)

定理：若正交拉丁方A(I,J),B(I,J)，存在一个简化辅助项方阵，且任一列，任一行及二条对角线上各数和等于简化辅助项幻和Sn^k(g)时，则由n×A(I,J)+B(I,J)构成的幻方为k次幂幻方。