4

4. 2 平方幻方的构成

当n=2^k,(k>2)时，存在平方幻方。现给出构成n=2^k,(k>2)阶平方幻方的正交拉丁方A(I,J),B(I,J)的编制方法。

(1)A(I.J)首行数的分布方程：

A(1,J)=2x(J-1) J=1,2,3…….n/2

A(1,J)=2×(J-1-n/2)+3 J=1+n/2 , 3+n/2, 5+n/2……+(n-1).

A(1,J)=2×(J-2-n/2)+1 J=2+n/2 , 4+n/2, 6+n/2……+n.

(2)B(1,J)首行数的分布方程：

B(1,J)=3+4×(k-1) J=1+4×(k-1) k=1,2,3……n/8。

B(1,J)=2+4×(k-1) J=2+4×(k-1)

B(1,J)=n-3-4×(k-1) J=3+4×(k-1)

B(1,J)=n-4×(k-1) J=4+4×(k-1)

B(1,J)=n-1-4×(k-1) J=1+n/2+4×(k-1)

B(1,J)=n-2-4×(k-1) J=2+n/2+4×(k-1)

B(1,J)=1+4×(k-1) J=3+n/2+4×(k-1)

B(1,J)=4+4×(k-1) J=4+n/2+4×(k-1)

　

(3) 例：2⁴=16阶A(1,J)首行数的分布：

0．2，4，6，8，10，12，14，3，1，7，5，11，9，15，13．

2⁴=16阶B(1,J)首行数的分布：

3，2，13，16，7，6，9，12，15，14，1，4，11，10，5，8．

(4)构成平方幻方2⁴=16阶 A(I,J),B(I,J)正交拉丁方的编制

A(I,J) 拉丁方 B(I,J)拉丁方

0	2	4	6	8	10	12	14	3	1	7	5	11	9	15	13
15	13	11	9	7	5	3	1	12	14	8	10	4	6	0	2
2	0	6	4	10	8	14	12	1	3	5	7	9	11	13	15
13	15	9	11	5	7	1	3	14	12	10	8	6	4	2	0
4	6	0	2	12	14	8	10	7	5	3	1	15	13	11	9
11	9	15	13	3	1	7	5	8	10	12	14	0	2	4	6
6	4	2	0	14	12	10	8	5	7	1	3	13	15	9	11
9	11	13	15	1	3	5	7	10	8	14	12	2	0	6	4
5	7	1	3	13	15	9	11	6	4	2	0	14	12	10	8
10	8	14	12	2	0	6	4	9	11	13	15	1	3	5	7
7	5	3	1	15	13	11	9	4	6	0	2	12	14	8	10
8	10	12	14	0	2	4	6	11	9	15	13	3	1	7	5
1	3	5	7	9	11	13	15	2	0	6	4	10	8	14	12
14	12	10	8	6	4	2	0	13	15	9	11	5	7	1	3
3	1	7	5	11	9	15	13	0	2	4	6	8	10	12	14
12	14	8	10	4	6	0	2	15	13	11	9	7	5	3	1

3	2	13	16	7	6	9	12	15	14	1	4	11	10	5	8
4	1	14	15	8	5	10	11	16	13	2	3	12	9	6	7
8	5	10	11	4	1	14	15	12	9	6	7	16	13	2	3
7	6	9	12	3	2	13	16	11	10	5	8	15	14	1	4
10	11	8	5	14	15	4	1	6	7	12	9	2	3	16	13
9	12	7	6	13	16	3	2	5	8	11	10	1	4	15	14
13	16	3	2	9	12	7	6	1	4	15	14	5	8	11	10
14	15	4	1	10	11	8	5	2	3	16	13	6	7	12	9
12	9	6	7	16	13	2	3	8	5	10	11	4	1	14	15
11	10	5	8	15	14	1	4	7	6	9	12	3	2	13	16
15	14	1	4	11	10	5	8	3	2	13	16	7	6	9	12
16	13	2	3	12	9	6	7	4	1	14	15	8	5	10	11
1	4	15	14	5	8	11	10	13	16	3	2	9	12	7	6
2	3	16	13	6	7	12	9	14	15	4	1	10	11	8	5
6	7	12	9	2	3	16	13	10	11	8	5	14	15	4	1
5	8	11	10	1	4	15	14	9	12	7	6	13	16	3	2

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

16阶平方幻方

3	34	77	112	135	166	201	236	63	30	113	84	187	154	245	216
244	209	190	159	120	85	58	27	208	237	130	163	76	105	6	39
40	5	106	75	164	129	238	207	28	57	86	119	160	189	210	243
215	246	153	188	83	114	29	64	235	202	165	136	111	78	33	4
74	107	8	37	206	239	132	161	118	87	60	25	242	211	192	157
185	156	247	214	61	32	115	82	133	168	203	234	1	36	79	110
109	80	35	2	233	204	167	134	81	116	31	62	213	248	155	186
158	191	212	241	26	59	88	117	162	131	240	205	38	7	108	73
92	121	22	55	224	253	146	179	104	69	42	11	228	193	174	143
171	138	229	200	47	14	97	68	151	182	217	252	19	50	93	128
127	94	49	20	251	218	181	152	67	98	13	48	199	230	137	172
144	173	194	227	12	41	70	103	180	145	254	223	56	21	122	91
17	52	95	126	149	184	219	250	45	16	99	66	169	140	231	198
226	195	176	141	102	71	44	9	222	255	148	177	90	123	24	53
54	23	124	89	178	147	256	221	10	43	72	101	142	175	196	225
197	232	139	170	65	100	15	46	249	220	183	150	125	96	51	18

　

(5) n=2^k(k>5) 时，构成平方幻方A(I,J)拉丁方分布规律：

将方阵分为16区，每区数的分布如下：

A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
A6	A5	A8	A7	A2	A1	A4	A3

　

　

因此，只要编出A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8则整个拉丁方A(I,J)即可编成。

A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8编法同n=2⁴阶拉丁方

(6) 当2^k,(k>4)时,B(I,J)拉丁方分布规律：

将方阵分为32区，每区数的分布如下：

B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8
-B7	-B8	-B5	-B6	-B3	-B4	-B1	-B2
b3	b4	b1	b2	b7	b8	b5	b6
-b5	-b6	-b7	-b8	-b1	-b2	-b3	-b4

说明：-B1数的分布为B1的逆向分布。-b1数的分布为b1的逆向分布

将B1数的分布每相邻二列交换位置，即为b1.

如:B1数的分布为1,2,3,4,5,6,7,8.则b1数的分布为2,1,4,3,6,5,8,7

因此，只要编出B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8则整个拉丁方B(I,J)即可编成。

B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8编法同n=2⁴阶拉丁方。