奇 方 分 析

俞 润 汝

（上 海）

摘要：举九阶二次全等数方（二次幂完美幻方，对称）兼中心行列，两对角线立方和相等一例。并証明其呈三次等幂和。

关键词：三次等幂和。

1，1 图A为九阶二次全等数方，兼中心行列，两对角线立方和相等。阶数n=9，元素为1 至81。行列对角线的和为：n×(n2+1)/2=369,平方和为：n×(n2+1)×(2×n2+1)/6=20049

1，2 由于其左右向18条串联泛对角线和，平方和皆相等，故冠以“全等”字样。又其所成方阵，仍为二次全等数方，沿此轮变，数可逾千。（详见（1））。

34

5

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18

67

51

19

80

27

76

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1

62

33

14

66

43

71

42

10

75

52

23

58

29

9

13

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45

26

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3

61

32

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8

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41

12

74

54

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4

56

37

17

69

73

53

24

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7

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40

11

39

16

68

49

20

81

35

6

55

2

63

31

15

64

44

25

77

48

图 A

2，1 本方诸和，平方和相等，可用同余法证明。（略）

为证明其米字架立方和相等，须先述三次等幂和：

设：a2+b2=c2+d2 , k±a ,k±b ,k±c , k±d 两数组呈三次等幂和。

一次和：(k+a)+(k-a)+(k+b)+(k-b)=(k+c)+(k-c)+(k+d)+(k-d), 4×k=4×k .

二次和：(k+a)2+(k-a)2+(k+b)2+(k-b)2=(k+c)2+(k-c)2+(k+d)2+(k-d)2,

4×k2 +2×a2 +2×b2 =4×k2 +2×c2 +2×d2

三次和：(k+a)3+(k-a)3+(k+b)3+(k-b)3=(k+c)3+(k-c)3+(k+d)3+(k-d)3

4×k3+6×k× a2+ 6×k×b2=4×k3+ 6×k×c2+6×k× d2。

显然，以上三式均成立。且a2+b2=c2+d2 ,其项数是可以平行增加的。

2，2 循此，检查本方中心行列，两对角线四数组可化为：

41±19, 41±13, 41±33, 41±,29, 41±23, 41±21, 41±11, 41±37,

41±7, 41±35, 41±31, 41±15, 41±39, 41±25, 41±17, 41±5,

当每组八个数同加上(n2+1)/2=41，无碍证明。 又19 2+13 2+33 2+29 2=23 2+21 2+11 2+37 2

=7 2+35 2+31 2+15 2=39 2+25 2+17 2+5 2=2460, 故知：

本方米字架四个数组（九数）呈三次等幂和：

n3×(n2+1)2/4=369×n2×(n2+1)/2=1225449

结语 本方由排演導合，非由数组予作支架而成。在九阶二次全等数方中是否尚有另类，皆未知。

  1. 俞润汝 九阶二次全等数方的演变 西安纺织高校基础学报 1999 1 p18—21

男 1934年生 副主任医师，上海南汇荡湾十五幢103室 邮编：201300