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等幂和数组的研究结果

陈数文整理英文  高源翻译

  非负整数的解答，当m=n+1时的情况。
        a1k + a2 k + ... + a n+!  k = b1 k + b2 k + ... + bn+! k      ( k = k1 , k2, ... , kn)

 

当m=n+1, 非负整数的解答已经发现了下列39种情形
一、( k = 1 )
[ 0, 2 ] = [ 1, 1 ]
[ 1, 4 ] = [ 2, 3 ]
[ 0, 7 ] = [ 1, 6 ] = [ 2, 5 ] = [ 3, 4 ]
二、( k = 2 )
[ 0, 5 ] = [ 3, 4 ]
[ 2, 11 ] = [ 5, 10 ]
[ 13, 91 ] = [ 23, 89 ] = [ 35, 85 ] = [ 47, 79 ] = [ 65, 65 ]
三、( k = 3 )
[ 1, 12 ] = [ 9, 10 ]
[ 2421, 19083 ] = [ 5436, 18948 ] = [ 10200, 18072 ] = [ 13322, 16630 ]
上列数组是由 E.Rosenstiel, J.A.Dardis和C.R.Rosenstiel在 1991.年构造的
四、( k = 4 )
[ 59, 158 ] = [ 133, 134 ]
第一个发现者是欧拉（Euler在1772年）.
[ 7, 239 ] = [ 157, 227 ]
五、( k = 1, 2 ) 
[ 0, 3, 3 ] = [ 1, 1, 4 ]
[ 1, 8, 8 ] = [2, 5, 10 ]
[ 0, 16, 17 ] = [ 1, 12, 20 ] = [ 2, 10, 21 ] = [ 5, 6, 22 ]
六、( k = 1, 3 )
[ 0, 7, 8 ] = [ 1, 5, 9 ]
[ 2, 10, 12 ] = [ 3, 8, 13 ]
[ 2, 52, 70 ] = [ 4, 46, 62 ] = [ 13, 32, 67 ] = [22, 22, 68 ] 
上列数组是由中国的陈数文在1995年找到的。
七、( k = 1, 4 ) 
[ 3, 25, 38 ] = [ 7, 20, 39 ]
最小数组的解答是由陈数文在1995年首先找到的
 [ 24, 201, 216 ] = [ 66, 132, 243 ] = [ 73, 124, 244 ] 
这是陈数文在1997年找到的三个数组链 。
八、( k = 1, 5 )
[ 39, 92, 100 ] = [ 49, 75, 107 ]
这是由A.Moessner在1939年首先发现的.
[ 3, 54, 62 ] = [ 24, 28, 67 ]
九、( k = 2, 3 ) 
[ 2251, 35478, 37243 ] = [ 19747, 19747, 43254 ]
这是由 A.Golden在1949年首先发现的.
[ 0, 37, 62 ] = [ 21, 26, 64 ]
这是由 陈数文在1995年首先发现的最小解答.
十、 ( k = 2, 4 )
[ 1, 9, 10 ] = [ 5, 6, 11 ] 
[ 6, 23, 25 ] = [ 10, 19, 27 ]
[ 23, 25, 48 ] = [ 15, 32, 47 ] = [ 8, 37, 45 ] = [ 3, 40, 43 ]
十一、( k = 2, 6 )
[ 3, 19, 22 ] = [ 10, 15, 23 ]
这个最小数组是由Subba-Rao在1934年首先发现的.
[ 120, 367, 431 ] = [ 152, 345, 439 ] 
( k = 1, 2, 3 ) 
[ 0, 4, 7, 11 ] = [ 1, 2, 9, 10 ]
[ 0, 9, 11, 22 ] = [ 2, 4, 15, 21 ]
[ 0, 28, 29, 57 ] = [ 1, 21, 36, 56 ] = [ 2, 18, 39, 55 ] = [ 6, 11, 46, 51 ]
 对称数组链：
[ 0, 87, 93, 214 ] = [ 9, 52, 123, 210 ] = [ 24, 30, 133, 207 ]
这是陈数文在1997年 首先发现的非对称数组链。
十二、( k = 1, 2, 4 ) 
[ 2, 7, 11, 15 ] = [ 3, 5, 13, 14 ]
这是陈数文在1995年 首先发现的最小数组。
[ 0, 7, 14, 19 ] = [ 1, 5, 16, 18 ] 
[ 14, 37, 39, 64 ] = [ 16, 29, 46, 63 ] = [ 19, 24, 49, 62 ]
这是陈数文在1995年 首先发现的数组链。
十三、 ( k = 1, 2, 5 )
[ 1, 28, 39, 58 ] = [ 8, 14, 51, 53 ]
这是陈数文在1995年 首先发现的最小数组。

 

[ 36, 329, 407, 608 ] = [ 88, 199, 537, 556 ] 
这是陈数文首先发现的。
十四、( k = 1, 2, 6 ) 
[ 7, 16, 25, 30 ] = [ 8, 14, 27, 29 ]
这是陈数文在1995年 首先发现的最小数组。

 

[ 99, 373, 447, 649 ] = [ 187, 205, 561, 615 ]
——陈数文
十五、( k = 1, 3, 4 )
[ 3, 140, 149, 252 ] = [ 50, 54, 201, 239 ]
 [ 6228, 36967, 56623, 76284 ] = [ 14544, 23359, 67968, 70231 ]
这是陈数文在1995年 首先发现的数组。
十六、( k = 1, 3, 5 )
[ 1, 13, 17, 23 ] = [ 3, 9, 21, 21 ]
[ 0, 24, 33, 51 ] = [ 7, 13, 38, 50 ]
( k = 1, 3, 7 )
[ 1741, 2435, 3004, 3476 ] = [ 1937, 2111, 3280, 3328 ]
这是Ajai Choudhry在1999年 首先发现的数组。
 [ 184, 443, 556, 698 ] = [ 230, 353, 625, 673 ]
这个最小数组发现者有： Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac, 和陈数文 时间为1999年
十七、( k = 2, 3, 4 ) 
[ 975, 224368, 300495, 366448 ] = [ 37648, 202575, 337168, 344655 ]
这是陈数文在1995年 首先发现的最小数组。
 [ 7001616, 10868299, 31439172, 34940503 ] = [ 7527024, 10393591, 31599228, 34831147 ] 
这是陈数文在1995年 首先发现的最小数组。
十八、 ( k = 2, 4, 6 )
[ 2, 16, 21, 25 ] = [ 5, 14, 23, 24 ]
[ 7, 24, 25, 34 ] = [ 14, 15, 31, 32 ]
( k = 1, 2, 3, 4 ) 
[ 0, 4, 8, 16, 17 ] = [ 1, 2, 10, 14, 18 ]
[ 0, 8, 13, 25, 26 ] = [ 1, 5, 18, 20, 28 ]
( k = 1, 2, 3, 5 )
[ 1, 8, 13, 24, 27 ] = [ 3, 4, 17, 21, 28 ] 
这是陈数文在1995年 首先发现的最小数组。

 

[ 1, 17, 20, 42, 42 ] = [ 2, 12, 26, 37, 45 ] 
——陈数文
十九、( k = 1, 2, 3, 6 ) 
[ 7, 18, 55, 69, 81 ] = [ 9, 15, 61, 63, 82 ] 
这是陈数文在1999年 首先发现的最小数组。
 [ 7, 27, 53, 90, 106 ] = [ 10, 21, 58, 87, 107 ] 
——陈数文
二十、( k = 1, 2, 4, 6 )
[ 3, 7, 10, 16, 16 ] = [ 4, 5, 12, 14, 17 ]
这是G.Palama在1953年 首先发现的数组。
[ 7, 25, 31, 56, 57 ] = [ 8, 21, 35, 53, 59 ] 
——陈数文
二十一、( k = 1, 3, 5, 7 ) 
[ 3, 19, 37, 51, 53 ] = [ 9, 11, 43, 45, 55 ]
这是A.Golden在40年代首先发现的数组。
 [ 0, 34, 58, 82, 98 ] = [ 13, 16, 69, 75, 99 ]
这是A.Letac在40年代首先发现的数组
二十二、( k = 2, 4, 6, 8 )
[ 12, 11881, 20231, 20885, 23738 ] = [ 436, 11857, 20449, 20667 , 23750 ]
这是A.Letac在40年代首先发现的数组
 [ 71, 131, 180, 307, 308 ] = [ 99, 100, 188, 301 , 313 ]
这组最小数组的发现者有： Peter Borwein, Petr Lisonek and Colin Percival   发现时间为2000年.
二十三、( k = 1, 2, 3, 4, 5 )
[ 0, 5, 6, 16, 17, 22 ] = [ 1, 2, 10, 12, 20, 21 ]
[ 0, 9, 17, 34, 36, 46 ] = [ 1, 6, 24, 25, 42, 44 ] 
[ 0, 23, 25, 71, 73, 96 ] = [ 1, 16, 33, 63, 80, 95 ] = [ 3, 11, 40, 56, 85, 93 ] = [ 5, 8, 45, 51, 88, 91 ]
二十四、( k = 1, 2, 3, 4, 6 ) 
[ 11, 23, 24, 47, 64, 70 ] = [ 14, 15, 31, 44, 67, 68 ] 
[ 42, 48, 59, 74, 76, 85 ] = [ 43, 46, 62, 69, 80, 84 ]
由陈数文在1995年发现的
( k = 1, 2, 3, 5, 7 ) 
[ 87, 233, 264, 396, 496, 540 ] = [ 90, 206, 309, 366, 522, 523 ] 
这是陈数文在1999年 首先发现的数组。
二十四、 ( k = 1, 2, 4, 6, 8 ) 
[ 1, 7, 17, 30, 31, 36 ] = [ 3, 4, 19, 27, 34, 35 ] 
这是陈数文在1995年 首先发现的数组。[ 64, 169, 184, 277, 347, 417 ] = [ 69, 139, 233, 248, 353 , 416 ] 
——陈数文
( k = 1, 3, 5, 7, 9 ) 
[ 7, 91, 173, 269, 289, 323 ] = [ 29, 59, 193, 247, 311, 313 ] 
这是陈数文在2000年 首先发现的数组。
二十五、 ( k = 2, 4, 6, 8, 10 ) 
[ 22, 61, 86, 127, 140, 151 ] = [ 35, 47, 94, 121, 146, 148 ]
在1999.年发现这组数者有： Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac和Chen Shuwen,
二十六、( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
[ 0, 18, 27, 58, 64, 89, 101 ] = [ 1, 13, 38, 44, 75, 84 , 102 ]
这是E.B.Escott在1910年 首先发现的数组。
 [ 0, 18, 19, 50, 56, 79, 81 ] = [ 1, 11, 30, 39, 68, 70 , 84 ] 
这是陈数文在1997年 首先发现的非对称数组。
二十七、( k = 1, 2, 3, 4, 5, 7 ) 
[ 4727, 4972, 5267, 5857, 5972, 6557, 6667 ] = [ 4772, 4867 , 5477, 5567, 6172, 6457, 6707 ] 
这是由 陈数文在1995年首先发现的最小解答.
[ 43, 169, 295, 607, 667, 1105, 1189 ] = [ 79, 97, 379, 505, 727, 1093, 1195 ] 
这是由 陈数文在1999年首先发现的最小解答.
 ( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 )
[ 0, 4, 9, 23, 27, 41, 46, 50 ] = [ 1, 2, 11, 20, 30, 39 , 48, 49 ]
这是由G.Tarry 在1913年首先发现的最小解答.
 [ 0, 7, 23, 50, 53, 81, 82, 96 ] = [ 1, 5, 26, 42, 63, 72, 88, 95 ] 
这是陈数文在1997年 首先发现的非对称数组链。
 二十八、( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 )
[ 77, 159, 169, 283, 321, 443, 447, 501 ] = [ 79, 137, 213, 237, 363, 399, 481, 491 ] 
这是陈数文在1999年 首先发现的数组。  .
二十九、( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 )
[ 0, 24, 30, 83, 86, 133, 157, 181, 197 ] = [ 1, 17, 41, 65, 112, 115, 168, 174, 198 ]
这是A.Letac在40年代首先发现的数组.
[ 0, 26, 42, 124, 166, 237, 293, 335, 343 ] = [ 5, 13, 55, 111, 182, 224, 306, 322, 348 ]
这是A.Letac在40年代首先发现的数组.
三十、( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
[ 0, 3083, 3301, 11893, 23314, 24186, 35607, 44199, 44417, 47500 ] = [ 12, 2865, 3519, 11869, 23738, 23762, 35631, 43981, 44635, 47488 ]
这是A.Letac在40年代首先发现的数组.
[ 0, 12, 125, 213, 214, 412, 413, 501, 614, 626 ] = [ 5, 6, 133, 182, 242, 384, 444, 493, 620, 621 ]
首先发现数组的人有： Peter Borwein, Petr Lisonek和 Colin Percival ，时间为2000年.
三十一、( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 )
[ 0, 11, 24, 65, 90, 129, 173, 212, 237, 278, 291, 302 ] = [ 3, 5, 30, 57, 104, 116, 186, 198, 245, 272, 297, 299 ]
首先发现数组的人有： Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac and  陈数文 ，时间为1999年.

 

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