语言与高次幻方的研究
延安教育学院学报 1999年第1期(总第24期)语言与高次幻方的研究
吴硕辛
摘要语言是笔者新建立的一种运算程序，它与矩阵、进位制、同余式有关，可解决一些高次幻方的问题。
关键词语言；法化剩余；矩阵；q进位制
利用语言研究高次幻方，已经出现了新的质的飞跃，象八阶、九阶二次幻方，32阶三次幻方都可以由语言运算出来。为了推动幻方研究的进一步发展，我们在此将语言的初步内容介绍如下，望引起同行的相互交流和共同的研究。语言所用数学符号的系列说明
一般在语言系统里，我们用Z表示整数集，N表示自然数集，N0表示非负整数集。并规定：
(1)
Zn=｛0，1，2，…，n-1｝；
(2)
〈a0，a1，a2，…〉q=∑〖DD(X〗k∈N0〖DD)〗(akqk)，其中q-1∈N，
ak∈Zg，K∈N0；
(3)〈b0，b1,b2,…bn-1〉q=∑〖DD(〗n-1[k=0[DD)(bkqk)
其中n，q-1∈N，bk∈Zq，k∈Zn。
假设a=〈a0，a1,a2,…〉q，b=〈b0，b1,b2,…,bn-1〉q，那么我们把上述两个等式的右端分别称为a、b的q进制升幂表示，显然有：
b=[〈b0，b1,b2,…,bn-1〉q，=〈b0，b1,b2,…,bn-1，0〉
=[〈b0，b1,b2,…,bn-1,0,0〉q，b=…….
这种性质我们通常称为升幂表示的右方容赘性质。
(4)
法化剩余。我们约定：［x］表示正实数x的整数部分，｛x｝表示正实数x的小数部分，即就是｛x｝=x-［x］，显然［x］≤x＜［x］+1。例如｛87｝=07，［48］=4。下面我们继续约定｛a｝q=q｛[SX(a[q[SX)｝，其中a∈Z，q∈N，我们就称｛a｝q是a相应模q的法化剩余。显然法化剩余｛a｝q也就是整数a除以正整数q所得的最小非负剩余。
(5)
矩阵的行序号、列序号。在语言中，m×n型整数矩阵Zm×n，我们约定它的行序号列序号皆起自于0，即从第0行(列)、第1行(列)、第2行(列)、…，这样数到m-1行(n-1列)上。
记m×n矩阵A=(a(i,j)),B=(b(i,j)),如果b(i,j)=｛a(i,j)｝q(其中i∈Zm，j∈Zn)，那么称B是A相应模q的法化剩余，可记为B=｛A｝q。
例1：
｛2354｝2=(0110)；
｛8324｝3=(2021).
无论是a=〈a0,a1,a2,…〉q，还是a=〈a0,a1,a2,…,an-1〉q，在容赘的意义下可以认定均有ak=｛［aq-k］｝q，(k∈N0)，此一量化性结论是把握进位制表示的关键，也可以把它看成是十进制换算q进制的运算公式。如5=〈1,0,1〉2，而a1=｛［5·2-1］｝2=｛［2、5］｝2=｛2｝2=0。
(6)
排列的项序号与矩阵的行序号及列序号起自于0一样，我们约定排列的项序号也起自于0，设α是一个长度为n的排列，那么规定顺应于该α的书写法是α=〈α0，α1，α2，…，αn-1〉，并用Dα表示α的项号集，即Dα=(0,1,2,…,n-1).用Fα表示α的项值集。
例2 若α=〈1，1，2，2，0〉，则Dα=Z5=〈0，1，2，3，4〉，Fα=Z3=〈0，1，2〉，α4=0等。
(7)
对于两个排列α和β，假设FBDα，那么规定存在(αβ)，Dαβ=Dβ，(αβ)k=αβk其中k∈Dβ。
例3
α=〈4，2，1，0〉，β=〈1，1，2，2，0〉可看出Z3=FβDα=Z4。即存在(αβ)，Dαβ=Dβ=Z5，αβ=〈2，2，1，1，4〉。
(8)
以下约定ε是一个排列，并且ε具备性质εk=k，明白地说明就是ε=｛0，1，2，3，……｝，假设μν=ε=vu，那么称μ有逆，即ν是μ的逆。如果称α是一个内排，这指的是：FαDα。称长度有限的排列β无复，这指的是，Fβ与β同长(即｜Fβ｜=｜β｜
)。一个基本结论是，排列α有逆的充要条件是α是一个无复的内排。
2.语言的运算程序
(1)
α是一个排列，q是大于1的自然数，A是整数矩阵。一般q，A预先给定时，α可由q和A派生出来。
(2)
当所给A∈Zm×n时，规定Dα=Zqn，此即｜α｜=qn，对于项数
k=〈k0，k1,k2,……,kn-1〉q，先演算出
｛A(k0，k1,k2,……,kn-1)T｝q=(l0，l1,l2,……,lm-1)T，
继而规定αk=〈l0，l1,l2,……,km-1〉q.
(3)
按照(2)中方式计算，当k取遍Dα中的各数(Dα=(0,1,2,…,qn-1))。可得排列
α=｛α0，α1,α2,……,αqn-1｝.
例4= (
651423 )
α=〈0，21，15，5，26，11，7，19，13〉。
下面我们举例说明，α中的各数是如何运算出来的，例如α7=19，它是这样运算的：因为7化成三进制是(21)3，写成列向量即是
( 12 ) ，则有
(651423 ) × ( 12 )
=(6×1+5×2,1×1+4×2,2×1+3×2)T=(16,9,8)T
而｛(16,9,8)｝3=(1,0,2)
由1中系列说明的定义(2)得〈1,0,2〉3=1×30+0×31+2×32=19。
注意，整体演算α时，项号k最宜依次取
〈0，0〉3，〈1，0〉3，〈2，0〉3，〈0，1〉3，〈1，1〉3，〈2，1〉3，
〈0，2〉3，〈1，2〉3，〈2，2〉3。所以，整体性手算α〖DD(-*2〗q〖DD)〗A时，应首先明确逆1而上的q进制各项升幂表示原则。
在α语言中，称α是个q进制串排，并称A是α的主辙，对于A∈Zm×n，称数值αqk是α的k号关注点(k∈Zn)，并称α的关注节是(
αq0，αq1，αq2，…，αqn-1)，容易明确：αqk与A的第k列相对应，无论在中演算的α，还是在q中演算的β，肯定有α=β。正因为如此，规定时(A∈Zm×n)，｛A｝q的缩写形式是
(αq0，αq1，αq2，…，αqn-1)q
并约定后者有着确定的意义。
例5〖HT〗(2，3，5)2= ( 011110001 ) ；
(2，3，5)3= ( 202011 )
；
应当明确，当ρ是串排时，书写法
ρ(2，3，5)2ρ=〈0,2,3,1,5,7,6,4〉,是错误的书写法，应纠正为
ρ
2
(2，3，5)2ρ=〈0,2,3,1,5,7,6,4〉
当k=〈k0，k1,k2,……〉2时，我们称ki为k的i级开关码(i∈N0)。
3.用语言演算高次幻方
现在我们具体地用来演算一个九阶平方幻方
我们预先给定四个2×2型的矩阵：
〖FC(〗
A= ( 1001 )
=(1,3)3，
B= ( 2122 ) =(8,7)3，
C= ( 2212 ) =(5,8)3，
D= ( 0210 )
=(3,2)3，
其中(1，3)3，(8，7)3，(5，8)3，(3，2)3是四个矩阵的缩写形式。这四个矩阵用语言演算分别可获得下列四个排列：
αA=(0，1，2，3，4，5，6，7，8)；
αB=(0，8，4，7，3，2，5，1，6)；
αC=(0，5，7，8，1，3，4，6，2)；
αD=(0，3，6，2，5，8，1，4，7)
现在我们来看图1。图1的第一个拉丁方的第0列正是αA的排列，第0行正是αβ的排列。第二个拉丁方的第0列正是αC的排列，第0行正是αD的排列。而其它行其它列也完全由第0行第0列对应两数，按“q进制按位相加法”获得，具体办法我们举例说明：
例6
图1第一个拉丁方中的第1行的第1列位上的数6是如何获得的?先将1与8化成三进制数得〈1，0〉3，，〈2，2〉3，，而〈1，0〉3+〈2，2〉3=〈3，2〉3，,
〈3，2〉关于模3的法化剩余｛〈3，2〉｝3=〈0，2〉，按1中系列说明的定义(2)化成十进制数有：
〈0，2〉3=0×30+2×31=6
再比如第5行中的第8位数是2，它是这样得到的，因为5=〈2，1〉3，6=〈0，2〉3,
而〈2，1〉+〈0，2〉=〈2，3〉，而｛〈2，3〉｝3=〈2，0〉，按定义〈2，0〉3=2×30+0×31=2。
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6 |
F方
G方
图1两个正交的拉丁方
图1中的两个拉丁方是正交的，我们用公式H=F+9G+1计算，即可得图2中的九阶平方幻方。这个幻方有6条泛对角线，9个九宫阵所含9数也满足二次幻和的要求，还有许多有趣的性质，限于篇幅我们这里不再细述。
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5 |
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12 |
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43 |
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18 |
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2 |
34 |
60 |
图2.九阶平方幻方
参考资料
1.李家栋.
60例8阶二次幻方，48例9阶二次幻方，8例32阶三次幻方。电脑打印稿，可用地址“北京左家庄香河园路中里九号楼308室吴霞转(100028)”，索取以上资料。
2.吴硕辛.
研究α〖DD(〗q〖DD)〗A语言的信件、稿件36份，也可由(1)中地址交流。
3.高治源.
中国幻方研究动态，延安教育学院学报，1998年第2期.