双重幻方

162	207	51	26	133	120	116	25
105	152	100	29	138	243	39	34
92	27	91	136	45	38	150	261
57	30	174	225	108	23	119	104
58	75	171	90	17	52	216	161
13	68	184	189	50	87	135	114
200	203	15	76	117	102	46	81
153	78	54	69	232	175	19	60

200	87	95	42	99	1	46	108	170
14	44	10	184	81	85	150	261	19
138	243	17	50	116	190	56	33	5
57	125	232	9	7	66	68	230	54
4	70	22	51	115	216	171	25	174
153	23	162	76	250	58	3	35	88
145	152	75	11	6	63	270	34	92
110	2	28	135	136	69	29	114	225
27	102	207	290	38	100	55	8	21

( 图 2 ) 8 阶双重幻方
定和为 840
定积为 2,058,068,231,856,000

( 图 3 ) 9 阶双重幻方
定和为 848
定积为 5,804,807,833,440,000

梁培基及顾同新不但造出了同阶的双重幻方，且其定和及定积更小，更難能可貴的是发展出此類方阵的通用方法 -- 方阵定位法(数学传播，民89年9月，p65-69)，由於文中所列資料並不詳盡，所以只列出其造出且刊載於刊上的方阵供大家觀賞：

10	51	63	114	13	100	88	161
25	52	184	77	34	15	171	42
136	34	19	28	225	78	46	33
117	150	22	69	40	119	7	76
66	207	39	50	49	152	20	17
133	56	68	5	138	99	75	26
92	11	175	104	57	14	102	45
21	38	30	153	44	23	91	200

75	248	95	28	26	10	153	138	11
63	78	1	51	184	55	100	62	190
68	46	110	225	186	19	21	104	5
152	125	93	2	70	52	66	17	207
6	7	117	88	85	69	38	250	124
22	170	92	114	25	279	8	35	39
155	57	200	130	4	14	23	99	102
13	9	42	115	33	136	310	76	50
230	44	34	31	171	150	65	3	56

( 图 4 ) 8 阶双重幻方
定和为 600
定积为 67,463,283,888,000

( 图 5 ) 9 阶双重幻方
定和为 784
定积为 2,987,659,715,040,000

依据文中記載：他們共造出了 41 个 8 阶双重幻方、 6 个 9 阶双重幻方。尤怪不才，在研读該文時曾仿其法來試填，結果也造出了 4 个 8 阶双重幻方及 143 个 9 阶双重幻方，這 4 个 8 阶双重幻方是否在梁顾兩位前輩已填出的方阵列表之中，因資料缺乏，尤怪不敢隨便猜測；但由於他們聲称只填出了 6 个 9 阶双重幻方，所以尤怪的這 143 个 9 阶双重幻方至少有 137 个不在他們造出來的方阵之中。尤怪造出的双重幻方，請参考：