幻方的历史

     相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲上背有9种花点的图案，人们将图案中的花点数了一下，竞惊奇地发现9种花点数正巧是1—9这9个数，各数位置的排列也相当奇妙，后来人们就称这个图案为洛书(见河图洛书的故事)。洛书给出的9个数所排成的方阵具有绝妙的性质，横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数字之和都为15。人们因它的性质之独特而大感兴趣，对其进行了多方面的研究。我国汉朝的一本叫《数术记遗》的书，把图２叫“九宫算”，又叫九宫图，宋朝数学家杨辉把类似于“九宫图”的图形叫“纵横图”，国外数学家把它叫做“幻方”。
    我国的纵横图传到欧洲，它的多彩的变幻特征吸引了西方的数学家们，他们对此也很感兴趣，并称纵横图为“幻方”，意为“幻妙的方阵”。著名的数学家欧拉和汉弥尔登，大发明家富兰克林都对幻方有过深入的探讨。在16、17世纪，甚至更晚，构造幻方非常盛行，各种特色的幻方不断诞生，1759年，欧拉发表了独具一格的“马步幻方”，1901年法国数学家里利发明了“平方幻方”，1958年美国数学家霍纳造出了“双重幻方”等。西方研究幻方的热潮，一浪高过一浪。目前，国外已作出的最大幻方，是美国纽约的一位13岁少年所完成的l05阶幻方。美国1977年发射的寻求外星文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上，除了有向宇宙人致意的问候讯号外，还带有一些图片，这些图片中就有一张是四阶幻方图．这个四阶幻方的构图，同我国的洛书一样，也是用不同数量的图点布局成的，而且它又是一个具有多种奇妙性质的四阶幻方(见图１)，向宇宙人告示了我们地球人的智慧。
      我国的纵横图也传到了印度、日本以及阿拉伯等国家，也引起了他们的 极大兴趣，把它作为“魔方阵”来研究，得到不少新成果。他们还提出一些与此类似的新概念，如“魔立方体”、“魔术矩形”等。印度所编的64数的魔立方体就别具特色，它的各层的纵横线上及立方体之垂线和对角线上各数之和皆相等，富兰克林是一个幻方迷，他曾承认，当他任宾夕法尼亚洲议会 的职员时，为了消磨那乏味的办公时间；他填出一些特殊的幻方，甚至一些幻圆—它是这样构成的，在一些按一定规则分布的互相相交的圆的交叉处，填上—定的数字，使得每个圆上的数字之和相等。最近，富兰克林的幻圆的彩色作品在纽约的一次拍卖中被一个私人收藏家高价买去了。
    近年来，我国对幻方的研究也颇为重视，各种杂志上不断刊载对幻方研究的新成果。其中尤以北京联合大学李立老师的研究成果最多，他分别在《内蒙古大学学报》和《数学进展》两杂志上，发表了许多关于幻方及幻立方的理论性很强的文章。1988年，丁宗智的“幻方”的研究成果，在台湾的“中华易学”中连载。1990年3月，合肥召开了“国际组合数学学术会议”，这次会议，对幻方研究的论文颇多，并对幻方的进一步发展起了推动作用。1991年，舒文中《幻方》一书出版，1993年，孙友、孙群策、孙群力父子三的《幻方专辑》发行。通过我国学者的艰苦探索，大大地开拓了幻方研究的视野，使幻方具有更多独特而深邃的性质，在构造的难度和奥妙的深度上都已大大超过以往。幻方这个起源于我国的神秘的数学问题，最终在我国形成了一个丰富的体系，并逐步成为数学研究的重要课题。
   不同的书上对“幻方”的叫法也不 同，本书为了便于研究，我们规定含有n行n列的正方形叫做n阶方阵。若将n²个数填入n阶方阵的n²个小格 中，则称这个填满数字的方阵为n阶 纵横图。图2就是一个三阶纵横图，它是将1—9这9个数按自然数的顺序排列成的，像图３那样，将1到n²中各数按自然数的顺序填成的纵横图，我们叫n阶循序纵横图。一般来说，将n²个不同的数填入n阶方阵的n²个方格中，若n行n列及两条主对角线上诸数之和都等于一常数Hn，则称此纵横图为n阶幻方，Hn称为该n阶幻方的幻和。图1是一个三阶幻方，幻和H3＝15，图 １是一个四阶幻方，幻和H4＝34。每个幻方的幻和是确定的，我们可以将n阶幻方的幻和的计算公式推导出来。