四阶幻方知多少？

                                              李元敦

     本文是四阶幻方三个框架体系的延伸，文中揭示了框架体系的规律性，提拱了更多的四阶幻方新的编制途径：不仅如此，在框架体系、幻方类型、易位法诸方面都凭添了选择机会。                                                    

                                                  （      一      ）

   把下面图 a 1   b 1 、图 a' 1   b' 1 、图 a" 1     b" 1 三个框架构造作为一组，它们相叠的数都是 "1" ，为了描述的方便，三个框架构造简称叠 1 组：

          b 1                                                 b' 1                                                  b" 1                              a 1      1      2      3      4                a' 1      1      3      5     7                   a" 1       1       2     5     6              5      6      7      8                                  2      4      6     8                           3       4      7    8        

            9      10     11     12                              9       11    13     15                        9       10     13    14     

            13     14     15     16                           10      12    14     16                        11      12     15   16              

           图 a 1 b 2                                          图 a' 1 b' 2                        图 a" 1 b" 2                                                   

由叠 1 组衍生的下面三个四阶方阵框架体系田阵全息组合，简称叠 1 组合：

            图 a1b1 四阶方阵框架体系田阵全息组合

                                  图 a' 1   b' 1 四阶方阵框架体系田阵全息组合

                                                           图 a" 1   b" 1 四阶阵框架体系田阵全息组合

三个叠 1 组合，共排列 3456 个四阶方阵，即（ 24 2 +24 2 ）× 3 。这些方阵可以按其结构分为四种类型：对角 =34 方阵和易位法，四行 =34 方阵和易   位法，四例 =34 方阵和易位法，全不 =34 方阵和易位法。下面是四种类型方阵及其易位法：

   对角 =34                                                    对角 =34                                                    幻      方

                    四   阶   方   阵                                                    易   位   法                                                     幻和 =34

                     四行 =34                                                    四行 =34                                                   四阶幻方

                    四阶方阵                                                       易位法                                                       幻和 =34

                     四列 =34                                                       四列 =34                                                 四阶幻方

   四阶方阵                                                      易位法                                                      幻和 =34

    全不 =34                                                     全不 =34                                                   四阶幻方

                              四阶方阵                                                       易位法                                                     幻和 =34

   把四类方阵转变成幻方，每类都有二种和二种以上的易位法，上面不同类型的方阵使用不同的易位法都是最简易的易位法。其中全不 =34  易位可以通用四种类型方阵，而其它三种易位法只能专用，不能通用。

    方阵四种类型的产生来源于田格数组的全息组合：凡主、副型（ a 、 b ）搭配，二个田格数组呈对角等数（如 a  -               主型， b  -               副型）组合的方阵就是”对角 =34 方阵”。凡主、副型（ a 、 b ）搭配，二个田格数组呈横项等数（如 a -              主型， b -              副型）组合的方阵就是 " 四行 =34 方阵 ". 凡主副 (a 、 b ）搭配，二个田格数组呈纵项等数（如 a -               主型， b -               副型）组合的方阵就是 " 四列 =34 方阵 " 。凡主、副型（ a 、 b ）搭配，二个田格数组横项、纵项、对角不呈等数（如 a -              主型、 b -               副型）组合的方阵就是 " 全不 =34 方阵 " 。

以上所述，还可以用表列方式来说明方阵的四种类型，就是说，三个叠 1 组合还存在另一种排列方法，即按四阶方阵类型组合来列表：

                    图 a 1 b 1 四阶方阵框架体系田格全息（按类型）组合

                                                       图 a 1 b 1 四阶方阵框架体系田格全息（按类型）组合

                     图 a 1 b 1 四阶方阵框架体系田格全息（按类型）组合

面的列表：有对角、四行、四列三种方阵类型，没有全不方阵类型，因为全不类型主副搭配不呈等数，只要把对角主、副与四行、四列主、副搭配，或是四行主、副与对角、四列主、副搭配，和四列主、副与对角、四行主副搭配，这种种主、副搭配都不呈等数，主副二个田格数组不呈等数的搭配组成的四阶方阵都是 " 全不 =34 方阵 " 。故全不类型包含在三种类型之中。

根据以上按类型排列的叠 1 组合可知，对角、四行、四列三种类型在方阵总量（ 3456 ）上各占 1/9 （ 384 ），全不类型占方阵总量 2/3 （ 2340 ）。

                         （    二    ）

研究发现，对角等于 34 方阵都有再生幻方和为 34 的四阶幻方的功能，或者说，凡四阶方阵对角等于 34 的，展开来就是一个四阶方阵框架体系。这样一来，四阶方阵框架体系，连同叠 1 组图 a 1 b 1 图 a' 1 b' 1 、图 a" 1 b" 1 3 个 , 一下子猛增至 384 个 [(8 2 +8 2 ) × 3] 。经一一检查、对照、剔除同构类和重叠数 336 个，获得净的 48 个，这就是叠 1 组—叠 16 组。下面是叠 1 组—叠 16 组 48 个四阶方阵框架体系：

叠 1 组为 a 1 b 1 、 a' 1 b' 1 、 a" 1 b" 1 三个四阶方阵框架体系本文前面已列，从略。下面是叠 2 组四阶方阵框架体系：

         b" 2                                   b' 2                  b 2

      a" 2      2    4      1     3                 a' 2      2         1     10        9                                   a 2       2      1      6     5

          6      8      5     7                          4     3     12    11                           4      3      8      7

              10    12     9    11                         6     5     14    13                          10     9     14    13

         14    16    13   15                         8     7     16     15                         12    11    16    15

          图 a" 2   b" 2                 图 a' 2   b' 2                                           图 a 2   b 2

叠 2 组四阶方阵框架体系简化；

       a" 2   b" 2       2     4     1     3               a' 2    b' 2         2    1    10    9          a 2    b 2       2     1     6     5

                               6    10   14                                      4     6     8                               4    10   12  

       以下叠 3 组—叠 16 组不再列出四阶方阵框架体系，如叠 2 组从简。

       a" 3   b" 3   3    1       4        2                 a' 3   b' 3    3      1      7      5                a 3  b 3   3    1     11     9

                         7      11      15                                    4     11    12                              4      7      8

     a" 4    b" 4   4     2       3       1                  a' 4   b' 4    4       3       8      7                a 4  b 4   4    3     12    11

                    8      12      16                                     2     12   10                                2      8     6

 a" 5   b" 5    5     7       6       8                   a' 5   b' 5     5      6      1      2                 a 5  b 5    5    7     1      3

                1      13       9                                       7     13    15                                6    13    14

 a" 6   b" 6    6     8      5        7                   a' 6  b' 6     6      5      2      1                 a 6  b 6     6    8      2     4

                2     14      10                                      8     14     16                                5     14   13

 a" 7   b" 7   7     5       8        6                     a' 7 b' 7     7      5      3     1                 a 7 b 7     7     8      3     4

                3     15      11                                       8     15   16                                 5     15   16

 a" 8   b" 8   8     6       7       5                     a' 8 b' 8     8      6       4      2                 a 8 b 8     8     7     4     3

                4      16     12                                       7     16     15                                6     16   14

 a" 9   b" 9    9   11      10    12                     a' 9 b' 9     9    10     13    14                 a 9 b 9    9     11   13   15

               13       1      5                                       11      1      3                                  10    1     2

a" 10   b" 10    10    12    9    11                     a' 10 b' 10      10    9     2    1                a 10 b 10    10    12    2    4

                   14    2      6                                          12    14  16                                   9    14  13

a" 11   b" 11    11    15     3     7                     a' 11 b' 11     11     9     3     1               a 11 b 11   11     12    3    4

                    9    12    10                                         12    15   16                                  9    15  13

a" 12   b" 12    12    10    11    9                     a' 12 b' 12     12     10   16  14              a 12 b 12   12    11   16   15

                   16     4    8                                             11    4    3                                 10    4     2

a" 13   b" 13    13     9     5     1                      a' 13 b' 13     13     14    9   10              a 13 b 13   13     15    9   11

                   15   14   16                                            16    6    8                                  14    5    6

a" 14   b" 14    14    16   13    15                     a' 14 b' 14     14    13   10    9             a 14 b 14   14     16    10   12

                   10    6      2                                            16    6    8                                 13     6    5

a" 15   b" 15   15    11     7      3                       a' 15 b' 15     15    13   11    9             a 15 b 15   15     16    11   12

                  13    16    14                                            16    7    8                                  13    7      5

a" 16   b" 16    16   14    15    13                     a' 16 b' 16     16    14   12  10               a 16 b 16   16     15    12   11

                  12     8       4                                           15    8    7                                   14     8     6

以上以自然数 1-16 相叠为标志，每个相叠的自然数都拥有像叠 1 组的 3 个框架体系。现在描述幻方自然美妙和谐的旋律出现了框架形式。框架构造形状一律，像十字架又不对称，从整体看所有框架既纵横有序，又非有序，都规则整齐排列。凭直觉，内中仅排列各异的 16 个元素，但都出奇地埋伏严守规则的 1152 个可以相互快捷转换的方阵和幻方，形似军家布阵：机关万千、疑兵四伏，令人迷惑而幻觉丛生，使四阶幻方陡增了几分神奇和趣味。

经考察，四阶方阵 48 个（ 16 × 3) 框架体系都具有一致内在的共性：无一例外都能够构成“田格全息组合”；每个框架都可以系统化程序化组成 1152 个四阶方阵，每个方阵都遵循田格等差规则 1 对 1 全部转变成幻方；同样具有四种方阵类型，这就是“对角”、“四行”、“四列”和“全不”。四种类型方阵，各用各的易位法把全部方阵转变成幻方，也可以用一种易位法，这就是“全不 =34 ”易位法把全部方阵转变成幻方。

已知每个四阶方阵框架体系的田格全息组合，能够产生 1152 个幻方，以此计算，每一个叠   组就产生 3456 个幻方（ 1152 × 3) ，叠 1 组—叠 16 组共 48 个田格全息组合就产生 55296 个幻方（ 1152 × 48 或 3456  × 16 ）。

上面庞大的四阶幻方计数不是定论。经过检验，每一个幻方都有 15 个幻方与之重叠，或者说叠 2 组 - 叠 16 组所编制的幻方都与叠 1 组 3456 个幻方相重叠，就是说叠 1 组 - 叠 16 组，只有一个叠组编成的幻方有效，其它 15 个叠组编成的幻方由于重叠而徒劳无效。但是编成 3456 个四阶幻方明确了有 16 条途径能够达此目标，并有助于洞明框架体系数理演变的规律，凡此皆有赖于对三个框架体系的延伸研究。