四阶幻方田格等差编制法简述

                                  李元敦         

四阶幻方编制方法多种多样，可是每一种方法只能排列少量幻方。现在笔者走出了一条系统化、程序化能够产生大量四阶幻方的编制路子，这就是田格等差编制法，即通过田格等差方阵的过渡完成幻方的排列。现按层次逐层简述如下。

下面是三个 4 × 4 四阶方阵：

                  图方 1                                             图方 2                                                  图方 3

三个方阵都由四个田格组成，自然数１－１６排列各异，但三个方阵都具有二个共同的特点：

一、每个方阵排列的自然数，四个田格上下、左右、对角二数之差都相等。以图方１为例：

     上 1-2=3-4=9-10=11-12=-1           下 5-6=7-8=13-14=15-16=-1

            左 1-5=3-7=9-13=11-15=-4           右 2-6=4-8=10-14=12-16=-4

     角 11-6=3-8=9-14=11-16=-5          角 2 2-5=4-7=10-13=12-15=-3

二、每个方阵的二条对角线四数之和都等于幻和 34 ：

         图方 1    1+6+11+16=4+7+10+13=34

         图方 2    1+4+13+16=7+6+11+10=34

         图方 3    1+4+13+16=6+7+10+11=34

第一个特点，要求组成四阶方阵必须遵循“田格等差”规则。

第二个特点，决定了方阵的首行首列七个数与剩余九个数在组合新的四阶方阵时二者成为引导与被引导的关系。因此有必要对上面三个方阵进行再造型，就是说必须把首行首列七个数与其余九个数分隔开来。分隔的办法，就是数位不动，取消三个方阵，代之以三个框架构造。以下是三个方阵再造型后的图 a 1 b 1 ，图 a' 1 b' 1 ，图 a" 1 b" 1 三个框架构造：

          b 1                                                 b' 1                                                  b" 1                                                        a 1      1      2      3      4                a' 1      1      3      5     7                   a" 1       1       2     5     6

            5      6      7      8                         2      4      6     8                            3       4      7    8        

            9      10     11     12                            9       11    13     15                               9       10     13    14     

             13     14     15     16                           10      12    14     16                              11      12     15    16   

           图 a 1                                                              图 a' 1 b' 1                                                  图 a" 1 b" 1

上面三个框架构造，置首行首列七个数于垂直交叉的二个长格之中。而其它九个数在交叉的二个长格的夹角内，一目了然把横竖长格内七个数与夹角九个数自然地分隔开来。格内二个“ 1 ”相叠，八个数将组成二种田字数组，在组合田格等差方阵过程中这二种田字数组处于引导地位，而夹角九个数则跟随二个田字数组被引导呈等差进入各自的方位。从而组成四阶方阵。（见后文图示）

每个框架作为编制四阶幻方的一种体系，垂直交叉的二个长格内的自然数存在二个“自然分化，田阵全息组合”（高源语） 24 个田字数组，可以成系统排列田格等差四阶方阵 1152 个，经过一种称为“全不 =34 易位法”易位， 1 对 1 产生 1152 个幻方。三个框架体系则产生 3456 个幻方。应该说明的是，三个框架产生的全部幻方存在大量同构类现象，但是没有出现重叠的幻方。

以下是图 a1b1 ，图  a1'b1'  ，图  a"1b"1 三个框架体系长格内，二个“ 1 ”相叠，八个数自然分化所构成的田阵全息组合：

   图 a 1 b 1       四阶方阵框架体系田阵全息组合

             图 a1'b1'  四阶方阵框架体系田阵全息组合

                          图 a"1b"1    四   阶方阵框架体系田阵全息组合

上面三个图表分 a 、 b 上下二部分，上部是框架横长格内四数呈田字数组极限组合，下部是框架竖长格内四数呈田字数组也是极限组合。当上部 a 田字四数是主型，下部 b 田字四数就是副型。主副型位置可以交换，每个幻方都是由主副型搭配而成四阶方阵，后成幻方的。 a 、 b 上下各 24 个田字数组可以随意选择进行任意搭配，故其幻方总数算术式是：

   （ 24+24 ）× 3=1152 × 3=3456 个幻方

注意：每个田字数组，当扮演副型角色时，田字载体拓展为九宫载体，四数落定在九宫四角上；主副型搭配进入方阵，如同框架首行“ 1 ”与首列“ 1 ”相叠一样，九宫“ 1 ”必须与田字“ 1 ”相叠，框架夹角九个数依据 a(b) 主型四数上下、左右、对角二数之差，与九宫四角数相对应呈等差关系填入九个空位。下面任意取三个图表上下各一个田字数组用田格等差法示范制作四阶幻方：        

                  例一图示（取 a  1 第 2 数组、 b 1 第 16 组）

                    主副搭配                             田格等差                               全不 =34                              幻   方  

 a 1 主型    

                            二个“ 1 ”相叠                        四阶方阵                                 易位法                              幻和 =34                  b 1 副型   

                例二图示（ a 1 、 b 1 交换位置）

                  主副搭配                             田格等差                               全不 =34                             幻   方  

b 1 主型    

                            二个“ 1 ”相叠                         四阶方阵                                 易位法                             幻和 =34          a 1 副型  

        例三图示（取 a' 1   第 24 数组、 b' 1   第 17 组数）

                 主副搭配                             田格等差                               全不 =34                             幻   方  

                   a' 1 主型    

                            二个“ 1 ”相叠                         四阶方阵                                 易位法                             幻和 =34           b' 1 副型

                                              例四图示（ a' 1   、 b' 1   交换位置）

                 主副搭配                             田格等差                               全不 =34                             幻   方  

                    b' 1   主型    

                            二个“ 1 ”相叠                         四阶方阵                                 易位法                             幻和 =34         a' 1 副型

                                    例五图示（取 a" 1   第 21 数组、 b" 1   第 2 数组）

             主副搭配                             田格等差                               全不 =34                             幻   方  

                    b" 1   主型    

                            二个“ 1 ”相叠                         四阶方阵                                 易位法                             幻和 =34         a" 1 副型

                                           例六图示（取 a" 1   、 b" 1   交换位置）

            主副搭配                             田格等差                               全不 =34                             幻   方  

                    b" 1   主型    

                            二个“ 1 ”相叠                        四阶方阵                                 易位法                             幻和 =34         a" 1 副型

主、副搭配，要确定主、副二个“ 1 ”在方阵中相叠的位置，取决于副 1 在田格中位置，如果副 1 位于田格右上方位，则主型四数填入方阵右上田格，接着以主 1 方位为基点把田格拓展为九宫，二个“ 1 ”相叠副型三数填入九宫三个角的空位，连同相叠的 1 ，副型田字数组全落在九宫四角上，如例一图示。其余类推，见例二—六图示，不再赘述。

以上例一－－六图示说明，每个框架构造，不但可以系统组合 1152 个方阵，后转变成幻方，而且由于主、副型可以互换和任意搭配，使四阶方阵程序化排列成为可能；因为所有四阶方阵只使用一种易位法易位，把方阵转变成幻方程序化易位也成为可能。这样，四阶幻方就如同工厂产品在程序化流水线上一样被大量编制出来。

注：※高源。系中国幻方研究者协会主席高源先生对本编制法 24 × 2( 个 ) 田字数组的评语。

※全不 =34 易位法，是本编制法的四种易位法之一。只有全不 =34 易位法可以通用。