4n阶完美幻方的新构造法
曹小琴
（金华教育学院数学系，浙江金华，321000）
摘要：本文把自然数1~16n2
按一定的顺序排成4n×4n方阵，然后经过简单的3种变换，构造出4n阶完美幻方。这个完美幻方去掉最外t层后仍是(4(n-2t)
阶)完美幻方。
关键词：4n阶；完美幻方；构造法；主t对角线；次t对角线
中图分类号：O157
幻方是现代组合问题，它在数理统计、正交实验、程序设计、人工智能、组合分析、工艺美术等方面具有广泛的应用。而完美幻方因其具有更强的对称性，因而研究完美幻方是一件更有意义的工作。
文献[1]给出了若干种4n阶完美幻方的构造方法，文献[2]、[3]
分别给出了奇阶、偶阶幻方的分层构造法，文献[4]给出4n阶完美幻方的一种构造法。本文给出4n阶完美幻方的新构造法，并给出了证明；同时这个4n阶完美幻方去掉最外t层后仍是(4(n-2t)
阶)完美幻方。
a11 a12 …… a1, n-1 a1n
a21 a22 …… a2, n-1 a2n
A=
an-1
, 1 a n-1 ,2 …… a n-1, n-1 an-1,n
an1 an2 …… a n, n-1
ann
如图1
方阵A中（如图1）由a12、a23、……、a n-1, n、a n1组成的折对角线称为主1对角线；……；a1, t+1、a2,
t+2、a n-t , n、a n-t+1 ,1、……、a nt组成的折对角线（左上右下）称为主t对角线（0≤t≤n-1），主0对角线为通常所说的主对角线。由a
n2、a n-1,3……、a 2n 、a 11组成的折对角线称为次1对角线；a n ,t+1、a n-1 ,t+2、……、在地a t+1, n、at
,1、……、a 1t组成的折对角线（左下右上）称为次t对角线（0≤t≤n-1），次0对角线为通常所说的次对角线。
1
4n阶完美幻方的构造方法
1.1 方阵B的排法
把自然数1~16n2按图2的顺序排成方阵B，其数字走向似一排连通的管子。
1 8n 8n+1
…… 16n2
2 8n-1 8n+2 …… 16n2-1
B= ……
4n 4n+1 12n ……
16n2-4n+1
如图2
1.2
两数间的对换
把4j+1列、4j+2列（0≤j≤n-1）奇数行中的两数对换；4j+3列、4j+4列偶数行中的两数对换。4j+1列、4j+2列合称为第j个单奇偶列，4j+3列、4j+4列合称为第j个双奇偶列（0≤j≤n-1）。第j个双奇偶列和第n-1-j个双奇偶列(0≤j≤[
]）称为互为配对的双奇偶列。
1.3 互为配对的双奇偶列间的对换
把第j个双奇偶列和第n-1-j个双奇偶列对换（0≤j≤[
]），对换后的方阵记为C。并把方阵C按顺序分成n×n个4阶方阵，记为C=（cij）（1≤i，j≤n），cij为4×4方阵。
1.4
把每个cij变换为4阶完美幻方
c11 4×4方阵为
8n 1 ② 16n2-8n+1 16n2
2 8n-1 ④ 16n2-1
16n2-8n+2
c11 ： 8n-2 3 ③ 16n2-8n+3 16n2-2
4 8n-3 ① 16n2-3 16n2-8n+
4
如图3
把c11按如图3的走向编成4阶方阵d11，见如图4，易验证d11为4阶完美幻方。
16n2-3 16n2-8n+4 8n-2
3
8n 1 16n2-1 16n2-8n+2
d11 : 16n2-8n+3 16n2-2 4 8n-3
2 8n-1 16n2-8n+1
16n2
如图4
把方阵C中的每个cij（1≤i，j≤n）按图3的走向编成相应的4阶完美幻方dij，设D=（dij）（1≤i，j≤n），则此时的4n×4n方阵D即为4n阶完美幻方。
2、定理
定理：按步骤1.1~1.4编成的方阵D为4n阶完美幻方。
此定理的证明分为四部分。
2.1
dij（ 1≤i，j≤n）及其数的特点。
dij:
16n2-16n(j-1)-4(i-1)-3
16n2-16n(j-1)-8n+4(i-1)+4 16n(j-1)+8n-4(i-1)-2 16n(j-1)+4(i-1)+3
16n(j-1)+8n
-4(i-1) 16n(j-1)+4(i-1)+1 16n2-16n(j-1) -4(i-1)-1 16n2-16n(j-1)
-8n+4(i-1)+2
16n2-16n(j-1)-8n+4(i-1)+3 16n2-16n(j-1)-4(i-1)-2 16n(j-1)+
4(i-1)+4 16n(j -1)+8n-4(i-1)-3
16n(j-1)+4(i-1)+2 16n(j-1)+8n-4(i-1)-1
16n2-16n(j-1)-8n+4(i-1)+1
16n2-16n(j-1)-4(i-1)
如图5
易验证dij为4阶完美幻方，幻和为32n2+2,
dij中数的特点：主1对角线上面三数之和32n2-16n(j-1)-4(i-1)（下面一数为16n(j-1)+4(i-1)+2);
主2对角线中上面二数和16n2（下面二数和16n2+2）；主3对角线上面一数16n(j-1)+4(i-1)+3(下面三数和32n2-16n(j-1)-4(i-1)-1)。
次1对角线下面三数和16n2+16n(j-1)+4(i-1)+5（上面一数16n2-16n(j-1)-4(i-1)-3）；次2对角线下面二数和16n2-2（上面二数和16n2+4）；次3对角线下面一数16n2-16n(j-1)-4(i-1)(上面三数和16n2+16n(j-1)+4(i-1)+2）。
2.2
易知D中各行和、列和均为n(32n2+2)。
2.3
下证D中各主4t（0≤t≤n-1）对角线、主4t+1对角线、主4t+2对角线、主4t+3对角线上的数和均为n（32n2+2）
2.3.1
显然主4t对角线上的数和n(32n2+2)
2.3.2 主4t+1对角线上的数分别为：
d1,
t+1中主1对角线上面三数（三数和32n2-16nt-4×0）、d1,t+2中主1对角线下面一数（16n(t+1)+4×0+2）；d2,t+2中主1对角线上面三数(和32n2-16n
(t+1)-4×1), d2,t+3中主1对角线下面一数16n(t+2)+4×1+2; ……
dn-t,n中主1对角线上面三数（和32n2-16n(n-1)-4(n-t-1)),
dn-t,1中主1对角线下面一数16n×0+4(n-t-1)+2；……；dnt中主1对角线上面三数（和32n2-16n(t-1)-4(n-1)，dn,t+1中主1对角线下面一数16nt+4(n-1)+2。
故主4t+1对角线上的4n个数和=[(32n2-16nt-4×0)+(16n(t+1)+4×0+2)]+[(32n2-16n(t+1)-4×1)+(16n(t+2)+4×1+2)]+……+
[(32n2-16n(n-1)-4(n-t-1)+16n×0+4(n-t-1)+2)]+……+[(32n2-16n(t-1)-4(n-1)]+[16nt+4(n-1)+2)]=n(32n2+2).
2.3.3
主4t+2对角线上的4n个数分别为：
d1,t+1中主2对角线上面二数（和16n2
),d1,t+2中主2对角线下面二数（和16n2+2）；d2,t+2中主2对角线下面二数（和16n2 ),
d2,t+3中主2对角线下面二数（和16n2+2）；……；dnt主2对角线上面二数(和16n2），dn,t+1中主2对角线下面二数(和16n2+2)。
故主4t+2对角线上的数和=n(32n2+2)。
2.3.4
主4t+3对角线上的4n个数分别为：
d1,t+1上主3对角线上面一数16nt+4×0+3,
d1,t+2中主3对角线下面三数（和32n2-16n(t+1)-4×0-1）；d2,t+2中主3对角线上面一数16n(t+1)+4×1+3,
d2,t+3上主3对角线下面三数（和32n2-16n(t+2)-4×1-1）；……， dnt中主3对角线上面一数16n(t-1)+4(n-1)+3,
dn,t+1中主3对角线下面三数（和32n2-16nt-4(n-1)-1)。
故主4t+3对角线上的数和=n(32n2+2)。
2.4
下证D中次4t对角线、次4t+1对角线、次4t+2对角线、次4t+3对角线（0≤t≤n-1)上的数和也均为n(32n2+2)。
2.4.1
显然次4t对角线上的4n个数和为n(32n2+2)。
2.4.2
次4t+1对角线上的4n个数分别为：
dn,t+1中次1对角线下面三数（三数和16n2+16nt+4(n-1)+5）,
dn,t+2中次1对角线上面一数16n2-16n(t+1)-4(n-1)-3；dn-1,t+2中次1对角线下面三数（和16n2+16n(t+1)+4(n-2)+5),
dn-1,t+3中次1对角线上面一数16n2-16n(t+2-4(n-2)-3；……；dt+1,n中次1对角线下面三数(和16n2+16n(n-1)+4t+5)，dt+1,1中次1对角线上面一数16n2-16n×0-4t-3
; …… ; dl t中次1对角线下面三数 （和16n2+16n(t-1)+4×0+5),
d1,t+1中次1对角线上面一数16n2-16nt-4×0-3。
故次1对角线上的数和 =n(32n2+2)。
2.4.3
次4t+2对角线上的4n个数分别为：
dn,t+1中次2对角线下面二数(和16n2-2), dn,t+2中次2对角线上面二数（和16n2+4);
dn-1,t+2中次2对角线下面二数（和16n2-2), d n-1,t+3中次2对角线上面二数（和16n2+4); …… dlt
中次2对角线下面二数（和16n2-2），dl,t+1中次2对角线上面二数(和16n2+4)。
故次4t+2对角线上的数和=n(32n2+2）。
2.4.4
次4t+3对角线上的4n个数分别为：
d n, t+1中次3对角线下面一数16n2-16nt-4(n-1), dn,t+2
中次3对角线上面三数(和16n2+16n(t+1)+4(n-1)+2)；dn-1,t+2中次3对角线下面一数16n2-16n(t+1)-4(n-2),
dn-1，t+3中次3对角线上面三数(和16n2+16n(t+2)+4(n-2)+2)；……；d1,t中次3对角线下面一数16n2-16n(t-1)-4×0,
d1,
t+1中次3对角线上面三数(和16n2+16nt+4×0+2)。
故次4t+3对角线上的数和=n(32n2+2)。定理得证。
3、性质
性质：4n阶完美幻方D中每个dij均为4阶完美幻方；4n阶完美幻方D中除去四周的4n-2个dij后的方阵(dij)(2≤i,j≤n-1),称为D
除去最外一层后的方阵，若D 除去最外t层(当n为奇数时1≤t≤( n-1)/2；当n为偶数时j≤t≤ -1 )
后的方阵为4(n-2t)阶完美幻方。
前一部分的证明显然，后一部分的证明分为以下四个方面。
3.1
D去掉最外t层后的4(n-2t)阶方阵为
d t+1,t+1 d t+1,t+2 …… dt+1,n-t
E= d t+2,t+1 d
t+2,t+2 …… d t +2,n-t = (dij) (t+1≤i , j≤n-t)
……
d n-t,t+1 dn-t,t+2
…… dn-t,n-t
如图6
E中每个dij为4阶完美幻方，幻和32n2+2。
3.2
显然E中每行和、列和均为（n-2t)(32n2+2)。
3.3
下证E中各主4(j-t-1)对角线，4(j-t-1)+1对角线，主4(j-t-1)+2对角线，主4(j-t-1)+3对角线上的数和均为(n-2t)(32n2+2)。（其中t+1≤j≤n-t)
3.3.1
显然E中各主4(j-t-1)对角线（t+1≤j≤n-t)上的4(n-2t)个数和均为(n-2t)(32n2+2)。
3.3.2
E中主4(j-t-1)+1对角线上的4(n-2t)个数分别为：
dt+1,j中的主1对角线上面三数(和32n2-16n(j-1)-4t),
dt+1,j+1中的主1对角线下面一数16nj+4t+2; dt+2,j+1中的主1对角线上面三数(和32n2-16nj-4(t+1)),
dt+2,j+2中的主1对角线下面一数16n(j+1)+4(t+1)+2；……；dn-j+1,n-t中的主1对角线上面三数（和32n2-16n(n-t-1)-4(n-j)),
dn-j+1,t+1中的主1对角线下面一数16nt+4(n-j)+2
；……；dn-t,j-1中的主1对角线上面三数(和32n2-16n(j-2)-4(n-t-1)),
dn-t,j中主1对角线下面一数16n(j-1)+4(n-t-1)+2。
故主4(j-t-1)+1对角线上的数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.3.3.
同理可证E 中主4(j-t-1)+2对角线的4(n-2t)个数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.3.4 同理可证E
中各主4(j-t-1)+3对角线上的4(n-2t)个数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.4 下证E
中各次4(j-t-1)对角线，次4(j-t-1)+1对角线，次4(j-t-1)+2对角线，次4(j-t-1)+3对角线上的数和均为(n-2t)(32n2+2)。(t+1≤j≤n-t)
3.4.1
显然E 中各次4(j-t-1)对角线上的4(n-2t)个数和均为(n-2t)(32n2+2)。
3.4.2
E中次4(j-t-1)+1对角线上的4(n-2t)个数分别为：
dn-t, j中次1对角线下面三数（和16n2+16n(j-1)+4(n-t-1)+5）,
dn-t,j+1中次1对角线上面一数16n2-16nj-4（n-t-1)-3；dn-t-1,j+1中次1对角线下面三数(和16n2+16nj+4(n-t-2)+5),
dn-t-1,j+2中次1对角线上面一数16n2-16n(j+1)-4(n-t-2)-3；……；dj,n-t中次1对角线下面三数(和16n2+16n(n-t-1)+4(j-1)+5),
dj,t+1中次1对角线上面一数16n2-16nt-4(j-1)-3；……；dt+1,j-1中次1对角线下面三数(和16n2+16n(j-2)+4t+5),
dt+1,j中次1对角线上面一数16n2-16n(j-1)-4t-3。
故次4(j-t-1)+1对角线上的数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.4.3
同理可证E中次4(j-t-1)+2对角线，次4(j-t-1)+3对角线上的数和均为(n-2t)(32n2+2)。
性质的后半部分得证。
4
实例
按文中1的构造方法所构造成的12阶完美幻方，如图7。
45 28 22 3 93 76 70 51 141 124 118 99
24
1 47 26 72 49 95 74 120 97 143 122
27 46 4 21 75 94 52 69 123 142 100
117
2 23 25 48 50 71 73 96 98 119 121 144
41 32 18 7 89 80 66 55 137 128
114 103
20 5 43 30 68 53 91 78 116 101 139 126
31 42 8 17 79 90 56 65 127
138 104 113
6 19 29 44 54 67 77 92 102 115 125 140
37 36 14 11 85 84 62 59
133 132 110 107
16 9 39 34 64 57 87 82 112 105 135 130
35 38 12 13 83 86
60 61 131 134 108 109
10 15 33 40 58 63 81 88 106 111 129
136
如图7
5、参考文献
（1）高源.奇妙的幻方（M）.陕西师大出版社. 1995.10:202
（2
）曹小琴.偶阶幻方的一种构造法及其个数（J）宁夏大学学报. (自然科学版）.
2000.21(1):89
（3）曹小琴.奇阶幻方的一种构造法及其个数（J）浙江师大学报. (自然科学版）. 1999.22(4):9
（4）李立.
4n阶优化全对称幻方的最快构造方法 (J) 数学进展. 1998.17(1):85
A New Structuring Method of
perfect Magic Square of 4n orders
Cao Xiao-qin
(Department of
Mathematics, Jinhua Education Institute, Jinhua,321000,China)
Abstract:
This paper arranges natural numbers (1~16n2 ) into 4nx4n square matrix in a
certain order, then structures perfect magic square of 4n through three simple
conversion. With the outermost t layers removed, this perfect magic square is
still a (4(n-2t)) order one.
4n阶完美幻方的新构造法
曹小琴
（金华教育学院数学系，浙江金华，321000）
摘要：本文把自然数1~16n2
按一定的顺序排成4n×4n方阵，然后经过简单的3种变换，构造出4n阶完美幻方。这个完美幻方去掉最外t层后仍是(4(n-2t)
阶)完美幻方。
关键词：4n阶；完美幻方；构造法；主t对角线；次t对角线
中图分类号：O157
幻方是现代组合问题，它在数理统计、正交实验、程序设计、人工智能、组合分析、工艺美术等方面具有广泛的应用。而完美幻方因其具有更强的对称性，因而研究完美幻方是一件更有意义的工作。
文献[1]给出了若干种4n阶完美幻方的构造方法，文献[2]、[3]
分别给出了奇阶、偶阶幻方的分层构造法，文献[4]给出4n阶完美幻方的一种构造法。本文给出4n阶完美幻方的新构造法，并给出了证明；同时这个4n阶完美幻方去掉最外t层后仍是(4(n-2t)
阶)完美幻方。
a11 a12 …… a1, n-1 a1n
a21 a22 …… a2, n-1 a2n
A=
an-1
, 1 a n-1 ,2 …… a n-1, n-1 an-1,n
an1 an2 …… a n, n-1
ann
如图1
方阵A中（如图1）由a12、a23、……、a n-1, n、a n1组成的折对角线称为主1对角线；……；a1, t+1、a2,
t+2、a n-t , n、a n-t+1 ,1、……、a nt组成的折对角线（左上右下）称为主t对角线（0≤t≤n-1），主0对角线为通常所说的主对角线。由a
n2、a n-1,3……、a 2n 、a 11组成的折对角线称为次1对角线；a n ,t+1、a n-1 ,t+2、……、在地a t+1, n、at
,1、……、a 1t组成的折对角线（左下右上）称为次t对角线（0≤t≤n-1），次0对角线为通常所说的次对角线。
1
4n阶完美幻方的构造方法
1.1 方阵B的排法
把自然数1~16n2按图2的顺序排成方阵B，其数字走向似一排连通的管子。
1 8n 8n+1
…… 16n2
2 8n-1 8n+2 …… 16n2-1
B= ……
4n 4n+1 12n ……
16n2-4n+1
如图2
1.2
两数间的对换
把4j+1列、4j+2列（0≤j≤n-1）奇数行中的两数对换；4j+3列、4j+4列偶数行中的两数对换。4j+1列、4j+2列合称为第j个单奇偶列，4j+3列、4j+4列合称为第j个双奇偶列（0≤j≤n-1）。第j个双奇偶列和第n-1-j个双奇偶列(0≤j≤[
]）称为互为配对的双奇偶列。
1.3 互为配对的双奇偶列间的对换
把第j个双奇偶列和第n-1-j个双奇偶列对换（0≤j≤[
]），对换后的方阵记为C。并把方阵C按顺序分成n×n个4阶方阵，记为C=（cij）（1≤i，j≤n），cij为4×4方阵。
1.4
把每个cij变换为4阶完美幻方
c11 4×4方阵为
8n 1 ② 16n2-8n+1 16n2
2 8n-1 ④ 16n2-1
16n2-8n+2
c11 ： 8n-2 3 ③ 16n2-8n+3 16n2-2
4 8n-3 ① 16n2-3 16n2-8n+
4
如图3
把c11按如图3的走向编成4阶方阵d11，见如图4，易验证d11为4阶完美幻方。
16n2-3 16n2-8n+4 8n-2
3
8n 1 16n2-1 16n2-8n+2
d11 : 16n2-8n+3 16n2-2 4 8n-3
2 8n-1 16n2-8n+1
16n2
如图4
把方阵C中的每个cij（1≤i，j≤n）按图3的走向编成相应的4阶完美幻方dij，设D=（dij）（1≤i，j≤n），则此时的4n×4n方阵D即为4n阶完美幻方。
2、定理
定理：按步骤1.1~1.4编成的方阵D为4n阶完美幻方。
此定理的证明分为四部分。
2.1
dij（ 1≤i，j≤n）及其数的特点。
dij:
16n2-16n(j-1)-4(i-1)-3
16n2-16n(j-1)-8n+4(i-1)+4 16n(j-1)+8n-4(i-1)-2 16n(j-1)+4(i-1)+3
16n(j-1)+8n
-4(i-1) 16n(j-1)+4(i-1)+1 16n2-16n(j-1) -4(i-1)-1 16n2-16n(j-1)
-8n+4(i-1)+2
16n2-16n(j-1)-8n+4(i-1)+3 16n2-16n(j-1)-4(i-1)-2 16n(j-1)+
4(i-1)+4 16n(j -1)+8n-4(i-1)-3
16n(j-1)+4(i-1)+2 16n(j-1)+8n-4(i-1)-1
16n2-16n(j-1)-8n+4(i-1)+1
16n2-16n(j-1)-4(i-1)
如图5
易验证dij为4阶完美幻方，幻和为32n2+2,
dij中数的特点：主1对角线上面三数之和32n2-16n(j-1)-4(i-1)（下面一数为16n(j-1)+4(i-1)+2);
主2对角线中上面二数和16n2（下面二数和16n2+2）；主3对角线上面一数16n(j-1)+4(i-1)+3(下面三数和32n2-16n(j-1)-4(i-1)-1)。
次1对角线下面三数和16n2+16n(j-1)+4(i-1)+5（上面一数16n2-16n(j-1)-4(i-1)-3）；次2对角线下面二数和16n2-2（上面二数和16n2+4）；次3对角线下面一数16n2-16n(j-1)-4(i-1)(上面三数和16n2+16n(j-1)+4(i-1)+2）。
2.2
易知D中各行和、列和均为n(32n2+2)。
2.3
下证D中各主4t（0≤t≤n-1）对角线、主4t+1对角线、主4t+2对角线、主4t+3对角线上的数和均为n（32n2+2）
2.3.1
显然主4t对角线上的数和n(32n2+2)
2.3.2 主4t+1对角线上的数分别为：
d1,
t+1中主1对角线上面三数（三数和32n2-16nt-4×0）、d1,t+2中主1对角线下面一数（16n(t+1)+4×0+2）；d2,t+2中主1对角线上面三数(和32n2-16n
(t+1)-4×1), d2,t+3中主1对角线下面一数16n(t+2)+4×1+2; ……
dn-t,n中主1对角线上面三数（和32n2-16n(n-1)-4(n-t-1)),
dn-t,1中主1对角线下面一数16n×0+4(n-t-1)+2；……；dnt中主1对角线上面三数（和32n2-16n(t-1)-4(n-1)，dn,t+1中主1对角线下面一数16nt+4(n-1)+2。
故主4t+1对角线上的4n个数和=[(32n2-16nt-4×0)+(16n(t+1)+4×0+2)]+[(32n2-16n(t+1)-4×1)+(16n(t+2)+4×1+2)]+……+
[(32n2-16n(n-1)-4(n-t-1)+16n×0+4(n-t-1)+2)]+……+[(32n2-16n(t-1)-4(n-1)]+[16nt+4(n-1)+2)]=n(32n2+2).
2.3.3
主4t+2对角线上的4n个数分别为：
d1,t+1中主2对角线上面二数（和16n2
),d1,t+2中主2对角线下面二数（和16n2+2）；d2,t+2中主2对角线下面二数（和16n2 ),
d2,t+3中主2对角线下面二数（和16n2+2）；……；dnt主2对角线上面二数(和16n2），dn,t+1中主2对角线下面二数(和16n2+2)。
故主4t+2对角线上的数和=n(32n2+2)。
2.3.4
主4t+3对角线上的4n个数分别为：
d1,t+1上主3对角线上面一数16nt+4×0+3,
d1,t+2中主3对角线下面三数（和32n2-16n(t+1)-4×0-1）；d2,t+2中主3对角线上面一数16n(t+1)+4×1+3,
d2,t+3上主3对角线下面三数（和32n2-16n(t+2)-4×1-1）；……， dnt中主3对角线上面一数16n(t-1)+4(n-1)+3,
dn,t+1中主3对角线下面三数（和32n2-16nt-4(n-1)-1)。
故主4t+3对角线上的数和=n(32n2+2)。
2.4
下证D中次4t对角线、次4t+1对角线、次4t+2对角线、次4t+3对角线（0≤t≤n-1)上的数和也均为n(32n2+2)。
2.4.1
显然次4t对角线上的4n个数和为n(32n2+2)。
2.4.2
次4t+1对角线上的4n个数分别为：
dn,t+1中次1对角线下面三数（三数和16n2+16nt+4(n-1)+5）,
dn,t+2中次1对角线上面一数16n2-16n(t+1)-4(n-1)-3；dn-1,t+2中次1对角线下面三数（和16n2+16n(t+1)+4(n-2)+5),
dn-1,t+3中次1对角线上面一数16n2-16n(t+2-4(n-2)-3；……；dt+1,n中次1对角线下面三数(和16n2+16n(n-1)+4t+5)，dt+1,1中次1对角线上面一数16n2-16n×0-4t-3
; …… ; dl t中次1对角线下面三数 （和16n2+16n(t-1)+4×0+5),
d1,t+1中次1对角线上面一数16n2-16nt-4×0-3。
故次1对角线上的数和 =n(32n2+2)。
2.4.3
次4t+2对角线上的4n个数分别为：
dn,t+1中次2对角线下面二数(和16n2-2), dn,t+2中次2对角线上面二数（和16n2+4);
dn-1,t+2中次2对角线下面二数（和16n2-2), d n-1,t+3中次2对角线上面二数（和16n2+4); …… dlt
中次2对角线下面二数（和16n2-2），dl,t+1中次2对角线上面二数(和16n2+4)。
故次4t+2对角线上的数和=n(32n2+2）。
2.4.4
次4t+3对角线上的4n个数分别为：
d n, t+1中次3对角线下面一数16n2-16nt-4(n-1), dn,t+2
中次3对角线上面三数(和16n2+16n(t+1)+4(n-1)+2)；dn-1,t+2中次3对角线下面一数16n2-16n(t+1)-4(n-2),
dn-1，t+3中次3对角线上面三数(和16n2+16n(t+2)+4(n-2)+2)；……；d1,t中次3对角线下面一数16n2-16n(t-1)-4×0,
d1,
t+1中次3对角线上面三数(和16n2+16nt+4×0+2)。
故次4t+3对角线上的数和=n(32n2+2)。定理得证。
3、性质
性质：4n阶完美幻方D中每个dij均为4阶完美幻方；4n阶完美幻方D中除去四周的4n-2个dij后的方阵(dij)(2≤i,j≤n-1),称为D
除去最外一层后的方阵，若D 除去最外t层(当n为奇数时1≤t≤( n-1)/2；当n为偶数时j≤t≤ -1 )
后的方阵为4(n-2t)阶完美幻方。
前一部分的证明显然，后一部分的证明分为以下四个方面。
3.1
D去掉最外t层后的4(n-2t)阶方阵为
d t+1,t+1 d t+1,t+2 …… dt+1,n-t
E= d t+2,t+1 d
t+2,t+2 …… d t +2,n-t = (dij) (t+1≤i , j≤n-t)
……
d n-t,t+1 dn-t,t+2
…… dn-t,n-t
如图6
E中每个dij为4阶完美幻方，幻和32n2+2。
3.2
显然E中每行和、列和均为（n-2t)(32n2+2)。
3.3
下证E中各主4(j-t-1)对角线，4(j-t-1)+1对角线，主4(j-t-1)+2对角线，主4(j-t-1)+3对角线上的数和均为(n-2t)(32n2+2)。（其中t+1≤j≤n-t)
3.3.1
显然E中各主4(j-t-1)对角线（t+1≤j≤n-t)上的4(n-2t)个数和均为(n-2t)(32n2+2)。
3.3.2
E中主4(j-t-1)+1对角线上的4(n-2t)个数分别为：
dt+1,j中的主1对角线上面三数(和32n2-16n(j-1)-4t),
dt+1,j+1中的主1对角线下面一数16nj+4t+2; dt+2,j+1中的主1对角线上面三数(和32n2-16nj-4(t+1)),
dt+2,j+2中的主1对角线下面一数16n(j+1)+4(t+1)+2；……；dn-j+1,n-t中的主1对角线上面三数（和32n2-16n(n-t-1)-4(n-j)),
dn-j+1,t+1中的主1对角线下面一数16nt+4(n-j)+2
；……；dn-t,j-1中的主1对角线上面三数(和32n2-16n(j-2)-4(n-t-1)),
dn-t,j中主1对角线下面一数16n(j-1)+4(n-t-1)+2。
故主4(j-t-1)+1对角线上的数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.3.3.
同理可证E 中主4(j-t-1)+2对角线的4(n-2t)个数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.3.4 同理可证E
中各主4(j-t-1)+3对角线上的4(n-2t)个数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.4 下证E
中各次4(j-t-1)对角线，次4(j-t-1)+1对角线，次4(j-t-1)+2对角线，次4(j-t-1)+3对角线上的数和均为(n-2t)(32n2+2)。(t+1≤j≤n-t)
3.4.1
显然E 中各次4(j-t-1)对角线上的4(n-2t)个数和均为(n-2t)(32n2+2)。
3.4.2
E中次4(j-t-1)+1对角线上的4(n-2t)个数分别为：
dn-t, j中次1对角线下面三数（和16n2+16n(j-1)+4(n-t-1)+5）,
dn-t,j+1中次1对角线上面一数16n2-16nj-4（n-t-1)-3；dn-t-1,j+1中次1对角线下面三数(和16n2+16nj+4(n-t-2)+5),
dn-t-1,j+2中次1对角线上面一数16n2-16n(j+1)-4(n-t-2)-3；……；dj,n-t中次1对角线下面三数(和16n2+16n(n-t-1)+4(j-1)+5),
dj,t+1中次1对角线上面一数16n2-16nt-4(j-1)-3；……；dt+1,j-1中次1对角线下面三数(和16n2+16n(j-2)+4t+5),
dt+1,j中次1对角线上面一数16n2-16n(j-1)-4t-3。
故次4(j-t-1)+1对角线上的数和为(n-2t)(32n2+2)。
3.4.3
同理可证E中次4(j-t-1)+2对角线，次4(j-t-1)+3对角线上的数和均为(n-2t)(32n2+2)。
性质的后半部分得证。
4
实例
按文中1的构造方法所构造成的12阶完美幻方，如图7。
45 28 22 3 93 76 70 51 141 124 118 99
24
1 47 26 72 49 95 74 120 97 143 122
27 46 4 21 75 94 52 69 123 142 100
117
2 23 25 48 50 71 73 96 98 119 121 144
41 32 18 7 89 80 66 55 137 128
114 103
20 5 43 30 68 53 91 78 116 101 139 126
31 42 8 17 79 90 56 65 127
138 104 113
6 19 29 44 54 67 77 92 102 115 125 140
37 36 14 11 85 84 62 59
133 132 110 107
16 9 39 34 64 57 87 82 112 105 135 130
35 38 12 13 83 86
60 61 131 134 108 109
10 15 33 40 58 63 81 88 106 111 129
136
如图7
5、参考文献
（1）高源.奇妙的幻方（M）.陕西师大出版社. 1995.10:202
（2
）曹小琴.偶阶幻方的一种构造法及其个数（J）宁夏大学学报. (自然科学版）.
2000.21(1):89
（3）曹小琴.奇阶幻方的一种构造法及其个数（J）浙江师大学报. (自然科学版）. 1999.22(4):9
（4）李立.
4n阶优化全对称幻方的最快构造方法 (J) 数学进展. 1998.17(1):85
A New Structuring Method of
perfect Magic Square of 4n orders
Cao Xiao-qin
(Department of
Mathematics, Jinhua Education Institute, Jinhua,321000,China)
Abstract:
This paper arranges natural numbers (1~16n2 ) into 4nx4n square matrix in a
certain order, then structures perfect magic square of 4n through three simple
conversion. With the outermost t layers removed, this perfect magic square is
still a (4(n-2t)) order one.