淮南工业学院学报
JOURNAL OF HUAINAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
2000　Vol.20　No.1　P.67-72

n阶幻方（n＞4）的几种构造方法

殷志祥

摘要：提出并证明了：1.递归构造n阶幻方（n＞4）的方法；2.已知m阶幻方（m＞2）、n阶幻方（n＞2），求mn阶幻方的公式；3.已知m阶幻方（m＞2），构造2m阶幻方的方法。
关键词：幻方；构造方法；递归
中图分类号：O157　　文献标识码：A
文章编号：1001-7038（2000）01-0067-06

Methods of constructing magic squares of order n (n＞4)

Abstract： In this paper, the author gives some methods of constructing magic squares: 1. a method of recursively constructing magic squares of order n (n＞4)； 2. a formula of obtaining magic squares of order mn when magic squares of order m (m＞2) and magic squares of order n(n＞2) are given; 3. a method of obtaining magic squares of order 2m when magic squares of order m (m＞2)　are given.
Key words: magic square; methed of construetion; recurrence

1　引言

　　有关幻方的记载最早出现在我国春秋时期（约公元前500年）的著作《论语》和《书经》中，“洛书”就是三阶幻方。从古至今有不少的学者对幻方做了进一步的研究，比如南宋的杨辉，现代的舒文中等。本文共提出了三种方法，有的适用所有n阶幻方（n＞4），并且可在计算机上利用本文的构造方法和公式求出相应的n阶幻方（不管n为多大）。

2　方法和证明

　　定义1：若一个元素为1～n²的n×n矩阵，其每行、每列以及两条对角线的和都相等，称这个矩阵为n阶幻方。若一个n×n矩阵的元素恰好是连续整数a,a+1,…,a+n²-1这个矩阵记为A（a,n），特别当a=1时，这个矩阵即为n阶幻方，记为A（n）。
　　显然，若能构造出A（n），那么它的每个元素加上a-1，就得到A（a,n）。
　　1可以看作是1阶幻方，2阶幻方是不存在的，3阶幻方A（3）和4阶幻方A（4）的例子为：

　　下面介绍三种方法：
2.1　递归构造幻方A（n）（n＞4）
　　首先取：
　　A_ij(n)=A_i-1,j-1(n-2)+2n-2　（2≤i≤n-1;2≤j≤n-1）
　　也就是说，A（n）去掉第1行，第n行；第1例，第n列后得到A（2n-1,n-2）。容易知道，只要再使n×n矩阵的第2～n-1行（例）首末两数之和，两对角线两端两数之和都是n²+1，而第1行（列）、第n行（列）各数之和都为，便可得到A（n）。
　　A（n）比A（2n-1,n-2）多出

　　为方便起见，称（1）中的数为小数，（2）中的数为大数。
　　而a和n²+1-a定义为一组大小数对应数。
　　令：a_1j=n²+1-a_nj; a_j1=n²+1-a_jn; (2≤j≤n-1)；a₁₁=n²+1-a_nn； a_1n=n²+1-a_n1。
　　以下固定取a₁₁=n²，a_nn=1。
　　在（1）、（2）中再找出2n-2个数填入A（n）的第一行和第一列，使第一行和第一列各数之和都为(1)/(2)n(n²+1)。由上可知这2n-2个数除了a_1n和a_n1是互为对应数外，其它各组对应数都只取一个，所以若第一行和第一列各数之和都为，则第n行和第n列各数之和也都为，得到A（n）。
　　分下列四种情况考虑：n=4k+3,n=4k+1,n=4k+4,n=4k+2(k为自然数）。
　　① n=4k+3
　　取下列各数填入第一行和第一列（除a₁₁外）
　　3, 4k+2, 4k+3,… , 4(2k+1), n²-4k, n²-4k+1, …, n²-1　　　　　　　　（3）
　　因为3和n²-2是一组对应数，它们必须填在a_1n和a_n1的位置。
　　（3）中共有1+(4k+3)+4k=8k+4个数，它们的总和为

　　因此，只要把它们分成两个各有4k+2个数，且其和都是的集合，那么第一行（列）各数总和为
　　
　　满足要求的两个集合容易找到。举例如下：
　　（3）中共有4k个大数n²-4k,n²-4k+1,…,n²-1，它们可以分成k组数，每一组含有四个连续整数：
　　｛n²-4i, n²-4i+1, n²-4i+2, n²-4i+3,｝　1≤i≤k
　　只要把每一组的四个连续整数中的中间两数放入一个集合M₁，首尾两数放入另一个集合M₂即可。设M₁中含有n²-2。
　　（3）中的小数共有4k+4个，将3，4k+3, 8k+3, 8k+4放入M₂（注意3和n²-2不能入同一个集合），4k+2,4k+4,4k+5,8k+2放入另一个集合M₁；其它的4k-4个连续整数4k+6，…，8k+1也分成和数相等的各含2k-2个整数的两组，分别放入M₂和M₁两个集合，即可。
　　现在（3）已分成两个各含4k+2个数，且其和都是的集合。把M₁和M₂分别填入第一行，第一列。注意3和n²-2填在右上角（左下角）的位置，其它各数的位置可任意排列。
　　② n=4k+1
　　第一行、第一列的数（除a₁₁=n²外）取作
　　5, 4k+3, 4k+5, 4k+6, … 8(k+1)
　　n²-4k-3, n²-4k-1, n²-4k,… n²-1
　　先把4k+2个大数分为两个各含2k+1个数且其和相等的两部分，分别填入M₁，M₂：
　　把n²-1,n²-3,n²-4k-3放入集合M₁，n²-2,n²-4,n²-4k-1放入集合M₂，而余下的4k-4个连续整数n²-4k,…,n²-6,n²-5可按①中处理连续数的方法分成两部分放入M₁和M₂中（设M₁含有n²-4）。
　　对于4k+6个小数，也将它们分成两部分：
　　5, 8k+6, 8k+8放入集合M₂，4k+3, 4k+9, 8k+7放入另一个集合M₁。剩下的4k+5, 4k+6, 4k+7, 4k+8以及4(k-1)个连续整数4k+10, 4k+11,…, 8k+5也可分成两个各含2k个数且其和相等的部分分别放入M₁和M₂中。
　　最后将M₁（M₂）的各数分别填入幻方的第一行（列），注意将5填在右上角或左下角位置，n²-4填在右上角或左下角位置。
　　③ n=4k+4 (k≥1)
　　第一行a₁₁=n²，a_1n=4k+8，其它为
　　2, 4k+4, 4k+7, n²-4k-8, n²-4k-9, n²-4这6个数。
　　当k＞1时，再加上：
　　｛4i, 4i+1, n²-4i-1, n²-4i-2｝　　2≤i≤k
　　｛4i-1, 4i, n²-4i, n²-4i-1｝　　k+3≤i≤2k+1　　　　　　（4）
　　这2k-2组数中任取k-1组，（除a₁₁a_1n外其它可随意填，下同）。
　　第一行共有8+4(k-1)=4k+4=n个数，其总和为：
　　
　　第一列：a₁₁=n²， a_n1=n²-4k-7，其它为：3,4,4k+5,4k+6,n²-5,n²-6这6个数，当k＞1时，再加上（4）中剩下的k-1组。
　　④ n=4k+2　（k≥1）
　　第一行：a₁₁=n²， a_1n=4k，其它的数为：
　　4k-1, n²-4k, 4k+4, n²-4k-4
　　当k＞1时再加上
　　｛4i+2, 4i+3, n²-4i-3, n²-4i-4｝　0≤i≤k-2
　　｛4i+1, 4i+2, n²-4i-2, n²-4i-3｝　k+2≤i≤2k　　　　　（5）
　　这2(k-1)组数中任取（k-1）组。
　　第一列：a₁₁=n²， a_n1=n²-4k+1。其它的数为：
　　4k-2, 4k+3, n²-4k-5, 4k+2, 当k＞1时，再加上（5）中剩下的（k-1）组数。
　　若n是大于8的偶数，n阶幻方的四条边（即第1，n行，第1、n列）还可通过另一种递推法求出。
　　注意用上法求得6阶幻方中第一行为36， 32， 28， 3， 8， 4。
　　第一列为36， 6， 7， 2， 27， 33， 各有3个大数，3个小数。
　　8阶幻方的第一行为64， 2， 8， 11， 52， 51， 60， 12；
　　第一列为64， 3， 4， 9， 10， 59， 58， 53
　　各有4个大数，4个小数。
　　假设已经构造出n-4阶幻方（n是大于8的偶数）A（n-4）。且它的第一行、第一列的大数个数等于小数个数（因此四条边上大数个数都相同）。
　　现在需要构造n阶幻方A（n）的四条边（中心部分可利用n-2阶幻方造出，如上所述）。
　　设A（n-4）的第一行元素为A₁₁(n-4)，A₁₂(n-4)，…，A_1,n-4(n-4)
　　令
　　
　　现取
　　A₁₁(n)=A^*₁₁(n-4)　　A_1n(n)=A^*_1,n-4(n-4)
　　并把A^*₁₂(n-4)，…，A^*_1,n-5(n-4)任意填入A（n）的第一行的剩下位置，还剩下4个空位，填入下列各数。
　　n²-2n+6, n²-2n+7, 2n-4, 2n-7　　　　　（6）
　　同样把A（n-4）的第一列填入A（n）的第一列（即大数加上8（n-2），小数不变，首末两数位置不变，其它可随意填），再填入下列4个数：
　　n²-2n+3, n²-2n+10, 2n-3, 2n-8　　　　　（7）
　　由于（6）、（7）中4个数的和相等，都是2n²+2,而第一行（列）其它各数的和等于：
　　
　　因而第一行（列）各数的总和为，这就证明所构造的矩阵确是一个幻方。
2.2　由m阶幻方和n阶幻方构造mn阶幻方
　　已知m阶和n阶幻方，可利用它们构造mn阶幻方A（mn）。取
　　A_mi+j,mr+s(mn)=m²（A_i+1,r+1(n)-1）+A_j,s(m)　　0≤i, r≤n-1, 1≤j, s≤m
　　当i,r取遍0到n-1各数，j,s取遍1到m各数，则（mi+j,mr+s）恰好取遍A（mn）的所有下标。又因A_i+1,r+1(n)取遍1到n²各数，A_j,s（m）取遍1到m²各数。可知，所构造的矩阵元素恰取遍1到m²n²各数各一次。
　　A(mn)的第mi+j行(0≤i≤n-1，1≤j≤m)总和为：

　　同理可知它的每列、和两条对角线各元素之和都等于
　　由这个构造法可知，用一个n阶幻方和n²个不同的m阶幻方可构造mn阶幻方。

3　偶数阶幻方构造法

　　为了构造2m阶幻方A（2m），首先构造一个2m阶矩阵M（2m），它的元素都是1，2，3，4，此矩阵可以分成m²块。

　　其中B_ij（1≤i≤m，1≤j≤m）是2×2矩阵，并且四个元素为1，2，3，4四数，且每行两元素之和为5。对矩阵M（2m），还要求它的每行、每列及两条对角线各数之和都是5m。
　　我们仍用递推法来构造M（2m），M（6）和M（8）可以直接构造出来。这里不多说。下面叙述由M（2（m-2））构造M（2m）的方法。
　　M(2m)的中心2(m-2)×2(m-2)矩阵就是M(2(m-2))，即：
　　B_i,j(2m,2m)=B_i-1,j-1(2(m-2),2(m-2))　2≤i,j≤m-1
　　下面构造M（2m）的四边，即B_1j(1≤j≤m),B_i1(1≤j≤m),B_mj(1≤j≤m),B_im(1≤i≤m)。

　　任取M(2(m-2))的两行第i行（i=(i₁,i₂,…,i_m-1),1≤i≤m-2）和第j行（=(j₁,j₂,,j_m-2),1≤j≤m-2)填入M(2m)的第一行和第二行余下的位置。
　　再把这个第i行经过变换后（i₁与i₂交换，i₃与i₄交换，以此类推）填入M（2m）的第m-1行，第j行经过同样变换后（j₁与j₂交换，j₃与j₄交换，以此类推）填入第m行。
　　B_1j（1≤j≤m）, B_mj（1≤j≤m）构造完毕。
　　用同等方法，任取M（2(m-2)）的两列第i列（1≤i≤m-2）和第j列（1≤j≤m-2）填入M(2m)的第一列和第二行列下的位置；再把这个第i列和第j列经过变换后（第1个数与第2个数交换，第3个数与第4个数交换，依次类推）填入M(2m)的第m-1列和第m列。
　　B_i1（1≤j≤m）, B_im（1≤j≤m）也构造完毕。
　　容易证明所得矩阵M（2m）满足要求。
　　取一个已知m阶幻方A（m），作矩阵。

　　其中C_ij（1≤j≤m，1≤j≤m）是2×2矩阵：

　　令A（2m）=M(2m)+C，容易看出A（2m）就是一个2m阶幻方。

淮南工业学院表扬基金资助项目.

殷志祥(1966-),男,安徽全椒人,硕士,副教授,主要从事数学教学工作及组合数学方面的科研工作.

殷志祥（淮南工业学院数理系，安徽　淮南　232001）

收稿日期：1999-10-08