矩阵与幻方

四阶同构幻方的试证

【矩阵中n个数之和是A。若矩阵中每个数是行列交乘之和，则它的n个数之和是A²】根据这一点, 将幻方中的每个元素a, 都用矩阵行列交乘之和的数表示，则行、列n个数之和是原幻和S的平方(S²) 。

举例；元素2 行 2,11,16 ,5 元素11 行 2,11,16 ,5 元素16 行2,11,16, 5, 元素5行2,11,16,5

【50】幻方列 2,13,07,12 列11,8,14,01 列16, 3,9 ,6 列5, 10,4,15

02,11,16,05, 积 4,143,112 ,60 积22 ,88,224 ,5 积32 ,33 ,144 ,30 积10 ,110,64,75

13,08,03,10, 和319 和339 和239 和259

07,14,09,04,元素13行13,8, 3,10 元素8 行13, 8, 3, 10 元素3 行13, 8, 3,10 元素10行13,8,3,10

12,01,06,15, 列 2,13, 7,12 列 11, 8,14, 1 列 16, 3, 9, 6 列5,10 4,15

积26,104,21,120 积143 ,64 ,42 ,10 积208,24,27,60 积65,80,12,150,

和271 和259 和319 和307

元素7行 7, 14, 9, 4 元素14 行 7,14, 9, 4 元素9 行 7, 14, 9, 4 元素4 行 7, 14 9, 4

列12, 7, 13, 2 列 11, 8,14,1 列16, 3 ,9, 6 列 5, 10,4,15

积84 ,98, 117 ,8 积77,112 ,126, 4 积112,42,81,24 积35,140,36,60

和307 和319 和259 和271

元素12行12, 1, 6,15 元素1 行12, 1, 6, 15 元素6 行12, 1, 6, 15 元素15行12, 1, 6, 15

列12, 7 13, 2 列 1, 14, 8, 11 列 16, 3, 9, 6 列 5,10, 4, 15

积144,7,78,30 积12,14,48,165 积192,3,54, 90 积60,10,24,225

和259 和239 和339 和319

319, 339, 239, 259 这个方阵它的纵横斜4个数的和都是1156。这是四阶幻方。在

271, 259, 319, 307 880个幻方中只有同构1号(50,51,74,75,), 同构3号(66,67,90,91,)

307, 319, 259, 271 等8个。(34²=1156)

259, 239, 339, 319 幻方作为方阵，是矩阵中的特殊方阵。通过矩阵得出幻方，也是研究幻方的一个途径。

凡是幻方都可以将每一个元素a通过“行列交乘之和”(简称‘交乘和’) 获得新元素a^/。在行或列的n个数相加的和数, 一定是原来幻和的平方. 原来幻和S, 交乘和后的和数是S²。880个四阶幻方都有这种共性棗行列等和矩阵。
【n个幻方的每个元素通过行列交乘之和都相同的幻方，n个幻方是同构类幻方】这给“同构”

这一概念作出了有力的证据。但是同构号内的交乘和有多种, 可以相互代换。

三、矩阵的行列交乘之和计算规律。1、行是自左至右→，则列自上向下↓。或行自右至左←，则列自下向上↑。也可以其他交乘。但是在同一个矩阵中必须统一。2、四阶幻方行列交乘之和计算结果，在1～144的幻补对都相等。145～640的幻补对是互补对，它的互补和578。3、641～880无互补关系，总和都=4624。同构类1号幻方的交乘和举例如下：

元素 1,16, 2,15, 3,14 , 4,13, 5,12, 6,11, 7,10, 8,9, 获得交乘之和的幻方编号交乘和 239 319 319 271 259 339 307 259 2,3,26,27,50,51,74,75,98,99,122,123, 交乘和 355 243 243 323 303 255 287 303 1,25,49,73,97,121,

交乘和 373 225 225 341 285 273 305 285 5,29,32,53,56,77,80,104,101,125,

交乘和 305 293 293 273 353 205 237 353 8,128, 交乘和 269 289 289 301 229 369 337 229 7,127,

交乘和 323 275 275 291 335 223 355 335 4,28,52,76,100,124, 交乘和 209 349 349 241 289 309 277 289 6,30,31,54,55,78,79,102,103,126,

以上同构1号7种‘交乘和’ 虽然不同，但是均可相互代换, 同构性质不变。举例如下：

【1】 2号方交乘和 6号方交乘和 7号方交乘和 8号方交乘和

01 08 11 14 239 259 339 319 209 289 309 349 269 229 369 289 305 353 205 293

15 10 05 04 319 307 259 271 349 277 289 241 289,337,229,301 293 237,353 273

06 03 16 09 339 319 239 259 309 249 209 289 369 289 269 229 205 293 305 353

12 13 02 07 259 271 319 307 289 241 349 277 229 301 289 337 353 273 293 237

若以其他同构号的幻方为模式，代入同构1号任何某号的‘交乘和’ 都不能获行列等和矩阵。

同构2号【9】幻方代入2号方交乘和同构3号【17】幻方代入2号方交乘和

01 08 10 15 239 259 307 319 01 08 13 12 355 303 323 303

14 11 05 04 319 339 259 271 15 10 03 06 243 287 243 255

07 02 16 09 307 319 239 259 04 05 16 09 323 303 355 303

12 13 03 06 259 271 319 339 12 13 02 07 303 323 243 287

同构23号交乘和的互补和是578如下：

元素 1, 16, 2, 15, 3 ,14, 4 ,13, 5, 12, 6, 11, 7, 10, 8, 9,

交乘和 385 193 197 381 221 357 353 225 305 273 277 301 301 277 273 305

同构50号交乘和如下：

1,214, 2,365, 3,264, 4,321, 5,305, 6,282 7,277, 8,316 9,255, 10,310,

11,266, 12,303 13,323, 14,248, 15,220, 16,355,

【641】【697】【753】【809】

02 11 14 07 02 14 11 07 04 10 15 05 04 15 10 05

08 12 13 01 15 04 05 10 03 16 09 06 14 02 07 11

15 05 04 10 08 13 12 01 14 07 02 11 03 09 16 06

09 06 03 16 09 03 06 16 13 01 08 12 13 08 01 12

将同构50号(共4个) ‘交乘和’ 代入，得行列等和矩阵如下：

365 266 248 277 365 248 266 277 321 310 220 305 321 220 310 305

316 303 323 214 220 321 305 310 264 355 255 282 248 365 277 266

220 305 321 310 316 323 303 214 248 277 365 266 264 255 355 282

255 282 264 355 255 264 282 355 323 214 316 303 323 316 214 303

从以上实例，880个四阶幻方可以分成同构类95种的分类方法是正确的。幻方的同构概念是：

n个幻方的每个元素通过行列交乘之和都相同的幻方，或行列交乘之和可以相互代换的幻方。这n个幻方是同构类幻方。

今天正值中国幻方研究者协会成立三周年(1998.5.) 的前夕, 特问协会报喜！

许仲义2001年4月30日