2001年7月13日，北京申奥成功，举国欢腾！昆明理工大学杨高石教授设计了奥运徽章幻五环，既有伟大的历史意义，又是情趣盎然的数学小游戏。
    芜湖王忠汉老先生由题解研究，推广到幻三环、相交幻五环，一番辛劳探索，趣解多多成谱，开创出与幻方相映成趣的又一分支。我说幻环两音略似，改称魔环较好？一来与幻方名称相对分庭抗礼，二者构造精巧微妙，来之不易，浸透一股魔力让我等痴迷探求，苦苦研究。王忠汉老先生先行一步，成果斐然！我闻之赞叹不已，灵感顿出，续拟出魔环初探五图附后，望幻方同仁大展才智、奋勇赶上。并作出以下定义与研究，供诸君参考使用。
      几个圆环相套，每一环内诸数之和S相等，称之为魔环。魔环内每一分割出的封闭区域称为一元，合计n元，此图型称为r环n元。在r环n元中，每一元内可放置自然数1到n中的一个。为了研究方便，我们定义：某一元是k个环的公共部分，即k环之交，则称其为k重元，某一环内共有t个元，则称其为t元环，明显可见，k, t值越大, 则制作益加艰难！计算重复的元或环都可得到折合元数，乘以中值(1+n)/2则得估计环和S，成功当在其左右，幸得妙解望早闻佳音。
魔环填数的数学本质是一个非齐次线性方程组的求自然数解的问题。共有r个n元(未知数)方程，写成一个r行n+1列的增广矩阵A:B；其中aij=1或0，bi=S；只有r个主元，n-r个自由元，特别要求当i¹j时，xi¹xj；且xiÎN及 xiÎ[1,n]。我迷惑于是编程让电脑运算寻找还是凭灵感拼凑，可能后者更快速见效些，因为在排列与判断处，电脑远远逊于人的直觉！高君王老先生等同仁的灵敏与经验远胜于我，故先奉上魔环初探八图及续六图，求得趣解，然后才可能摸索出一般制作方法。
     王老先生觉察到中环或多元环是解题的关键，其中用到棋子分成若干份，正是我曾研究过尚未面世的分组问题，协助提供如下。
      定义1：将n 个相同元素分成 r(r≤n)个无序组（每组中至少有一个元素）,称作相同元素的分组问题，简称分组问题。所有不同的分法方案总数称作分法种数，记作M(n,r)，又称分组数M(n,r)。
引理5:把自然数k分拆成r个自然数之和,即有x1+x2+…+xr=k 成立,又称作自然数k的可重复的无序分拆,其分拆(方案)数即分组数M(k,r)。
       定义5:把自然数k分拆成r个互不相等的自然数之和,即有
x1+x2+…+xr=k,且x1x2…xr成立,称为自然数k的不重复的r -分拆;其分拆(方案)数记作N(k,r)。
定理六:把自然数k分拆成r个互不相等的自然数之和,称为不重复的分拆;其分拆数记作N(k,r),则有
只有当k-r(r-1)/2≥r时,才能得到N(k,r)≠0;
      我查询并思索一番，对王老先生的五环谱数字作以下的补充：
N(38,8)=2, N(39,8)=3,
N(40,8)=5, 补E:1,2,3,4,6,7,8,9. N(41,8)=7, 补G: 1,2,3,4,6,7,8,10.
N(42,8)=11, 补九：1,2,3,4,5,7,8,12.
补十：1,2,3,4,5,7,9,11. 补十一：1,2,3,4,5,8,9,10.
N(43,8)=15，补十一：1,2,3,4,5,7,8,13.
补十二：1,2,3,4,5,8,9,11. 补十三：1,2,3,4,5,7,9,12.
补十四：1,2,3,4,5,7,10,11. 补十五：1,2,3,4,6,7,9,11.
N(44,8)=22,要续补九套数字请自行找齐。很高兴能给分组问题找一个实践的用武之地，其内涵丰富，理论系统可与排列组合媲美，久难面世甚遗憾？！
      《智慧之窗》改版杂志甚好，便于保存，亦书亦刊，利于出售推广。
       我想个人专辑做为基础知识入门附在《智慧之窗》后半部分，分批一次刊登2~4章，这样简易工作量小好提高品质，又因合集共鸣体现了同仁情谊！还有近年幻方飞跃发展，知识不断出新完善，分批刊登可使研究撰写两不误，能补充在后。这也是李抗强和我总觉得钻研未尽，迟迟不能完稿的一部分原因，望考虑之。
       苏茂铤先生灵思出众，总有生花妙笔，他发现一套（共10例）13阶4次特优密码，我总不知怎么使用，如何验证？渴望将以其作出的幻方几个寄来给我欣赏学习。
       另会费问题，当前要支撑纯学术的研究与发展真不容易！幻方协会会员既有权获得各种资料，当然有义务交纳会费60~100元，是履行与否，而不是自愿问题。骨干应该多作奉献，欢迎各界的捐赠，当然协会工作也要不断改进，提高效率，降低费用。
     我已汇往芜湖王忠汉老先生处会费200元，今后刊登文章再寄些出版费用。

谨祝新春愉快，万事如意！
曹 陵 敬上
2002年1月15日