六阶数对排列幻方

用1~ n2三十六个顺序数，构作‘六阶幻方’的方法很多，下面介绍的是用十八对数对排列而成的六阶幻方（1、36，2、35，3、34------16、21，17、20，18、19）每对数两数之和均为37。两个数互为补数。排列后如图—1和图—2分别为九大格和六大格，为叙述方便，每大格都编了号，前者每大格两对数对，后者为三对数对组成幻和111。
具体排列时只用十八个数（各数对中的一个数）如用最小数1、2、3------16、17、19，把它分成六组数组，每组三个数，两组数组为一对，共三对，只要每对两个组数三数之和均相等，并满足二条对角线数和为幻和111即可，如图—3所示，图—1中⑸的位置两数之和为11，但可为任意数，但当两数之和小于10（或1和9时）则不能全部用最小数，有的要用其补数来代替，如图—4用8和10的补数29和27，图—5用14和11的补数23和26，图—3、图—4、图—5 还可以有多种变化，其最后结果幻方性质不变：如按图一1中⑷、⑹和⑵、⑻位置上的数字可以在各自列间，上下互换位置；又如按图一2中Ⅰ、Ⅳ和Ⅲ、Ⅵ位置上的数字旋转180度或互换位置，图—3 中17和12，15和10还可同时互换位置------等等。此外，图—3、图—4、图—5 第一列和第二列，第三列和第四列，第五列和第六列六数平方和也都各自相等。图中的空格的填数为相邻数的补数。（以下同）

关于排列时，使两条对角线的数和，都等于幻和111的办法是：使图—1 中的⑴、⑼和⑶、⑺位置中最外的两个数之和减去另两个数之和再加上中间⑸位置上两个数之和等于37即成。如图—3 ：（14+16）—（1+3）+（5+6）=37；（19+13）—（2+4）+（5+6）=37。又如图—5 ：（16+26）—（7+8）+（1+9）= 37 ；（19+17）—（5+4）+（1+9）=37。
下面介绍几种特殊解，数字排列非常有意思：
第一种、当中间数为7和8 或6和9时，填数显得很有规律，见图—6和图—7。此时，中间两行，即图—1的⑷、⑸、⑹位置中两数之差均相等，因此可以任意互换位置，结果不变；其它的多种变化和上述的图—3 一样。
第二种、当中间两数之和为17时，将得出图—1的⑴、⑶、⑷、⑹、⑺、⑼位置中，数组上下两数个位数相等的美妙解，见图—9和图—10。且如图—2中Ⅱ、Ⅴ位置靠近中间的两数其个位数也相等，并能同时位置互换，结果不变。如图—9中 4、13和14、3互换，图—10中3、14和13、4的位置互换，因为它们两数之和均为17。此外，这两个图还有多种变化，而结果不变。

    第三种、图—11除具有上述的一般性质外，如图—2的Ⅱ、Ⅴ部分，六数之平方和同第三列和第四列六数平方和均相等，为2 863。同时Ⅱ、Ⅴ部分的立方和也相等，为82 917；此外，中间上下两数对可互换，结果不变，因为12、4和11、5，两数之和仍为16，还有其他多种变化：如图—12就是在图—11的基础上，改变数对的相邻关系，采用相对位置而得（一、六列，二、五列，三、四列为数对组合），为此，对角线把幻方分成上下、左右四部分，上下两部分六数之和也均为幻和111。
第四种、幻方第一列、第二列和第五、第六列及其上半部分和下半部（Ⅰ、Ⅳ和Ⅲ、Ⅵ）六数平方和均相等；同时上下部分立方和也相等。见图—13 ~ 18。
   图—13 ~ 图—15三个幻方，其六对数组是相同的，但是通过调整中间两数的数和（10+15，14+15，14+19），导致幻方的不同，但其最终结果，平方和、立方和是一样的。左侧平方和为3 067，立方和为94 239；右侧平方和为2 743，立方和为76 257。同样图—16 ~ 图—18三个幻方，其六对数组也是相同的，其中间两数的数和分别为：6+11、14+13、19+11，当然，最终平方和、立方和也都是相同的。左侧平方和为2 755，立方和为76 923；右侧平方和为3 019，立方和为91 575。
第五种、图—19除有图—16 ~ 图—18的性质外，还有以下几个特点：
一、如图—2中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ位置上的六个数，平方和均为2 671，立方和均为72 261。
二、第一、二、五、六列平方和也为2 671，中间第三、四列平方和则为2 761。
三、第一和第六列立方和为72 981，第二和第五列立方和为71 541。此外，中间两数对8和9可换成12和5，因为数和都是17，所以其结果不变。
      图—20是在图—19的基础上稍作变化而得，六组数组不变，只是中间两数对由8和9变为12和9；第五和第六列数组互换位置，最后结果，其性质和特点同图—19，但第一和第六列立方和为71 001，第二和第五列立方和为73 521。由于左右四组数组的数和均为36，所以，还有结果不变的其它多种变化。
以上所有的幻方图，都可以作如下变化：第一和第二列或第五和第六列数组互换位置时，只要最外侧的两个数字同时上下互换位置，如图—20中第五和第六列数组互换位置时，17和18，11和3也互换了位置；此外第一、二，三、四，五、六列可同时互换，幻方性质不变。
   上面的论述是多年前研究 ‘六阶数对排列幻方’的一点心得，最后第三、第四、第五部分，是在近日学习等幂和数组的启发下完成的，不妥之处，请专家和广大幻方爱好者批评指正。让我们多交流，相互启发，作出更多精彩的幻方。

【太原郭大焱2002年春节】